Разделённые степени

Разделённые степени — структура на коммутативных кольцах, позволяющая придать выражениям вида $x^{n}/n!$ смысл, если даже невозможно деление на $n!$.

Определения

Пусть $A$ — коммутативное кольцо с идеалом ${\mathfrak {I}}$. Структура разделённых степеней (или PD-структура, от фр. puissances divisées) на ${\mathfrak {I}}$ есть набор отображений $\gamma _{n}:{\mathfrak {I}}\to A$ для $n=0,1,2,\dots$ таких, что:

1. $\gamma _{0}(x)=1$ и $\gamma _{1}(x)=x$ для $x\in {\mathfrak {I}}$, тогда как $\gamma _{n}(x)\in {\mathfrak {I}}$ для $n>0$.
2. $\gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{i}(y)$ для $x,y\in {\mathfrak {I}}$.
3. $\gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)$ для $\lambda \in A,x\in {\mathfrak {I}}$.
4. $\gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)$ для $x\in I$, где $((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}$ — целое число.
5. $\gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)$ for $x\in I$, где $C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}$ — целое число.

Ради удобства обозначений $\gamma _{n}(x)$ часто пишется как $x^{[n]}$, когда ясно, какая структура разделённых степеней подразумевается.

Идеал разделённых степеней — идеал с заданной структурой разделённых степеней; кольцо с разделёнными степенями — кольцо с заданным идеалом и соответствующей ему структурой разделённых степеней.

Гомоморфизмы алгебр с разделёнными степенями суть гомоморфизмы колец, согласованные со структурами разделённых степеней на области определения и на образе.

Примеры

• $\mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} [x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\ldots ]\subset \mathbb {Q} [x]$ есть алгебра с разделёнными степенями, это свободная алгебра с разделёнными степенями над $\mathbb {Z}$ с одной образующей.

• Если $A$ — алгебра над полем $\mathbb {Q}$, тогда всякий идеал ${\mathfrak {I}}$ имеет единственную структуру разделённых степеней; для неё $\gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}$. (Единственность следует из просто проверяемого факта, утверждающего, что, вообще говоря, $x^{n}=n!\gamma _{n}(x)$.) На самом деле, это первоочередной пример для мотивировки этого понятия.

• Если $A$ — кольцо характеристики $p>0$, где $p$ — простое число, и ${\mathfrak {I}}$ — идеал такой, что ${\mathfrak {I}}^{p}=0$, то мы можем определить структуру разделённых степеней на ${\mathfrak {I}}$, где $\gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}x^{n}$, если $n<p$, и $\gamma _{n}(x)=0$, если $n\geq p$. (Заметим разницу между идеалом ${\mathfrak {I}}^{p}$ и идеалом, порождённым $x^{p}$ для всех $x\in {\mathfrak {I}}$; второй всегда нулевой, если структура разделённых степеней существует, в то время как первый не обязательно нулевой.)

• Если $M$ есть $A$-модуль, пусть $S^{\cdot }M$ обозначает симметрическую алгебру модуля $M$ над $A$. Тогда её двойственная алгебра $(S^{\cdot }M){\check {~}}=Hom_{A}(S^{\cdot }M,A)$ имеет каноническую структуру кольца с разделёнными степенями. На самом деле, она канонически изоморфна естественному пополнению $\Gamma _{A}({\check {M}})$ (см. ниже), если $M$ конечного ранга.

Конструкции

Если $A$ — произвольное кольцо, существует кольцо с разделёнными степенями:

$A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle$,

состоящее из многочленов с разделёнными степенями от переменных $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$, то есть суммы мономов с разделёнными степенями вида:

$cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}$,

где $c\in A$. Здесь идеал разделённых степеней есть множество многочленов с разделёнными степенями со свободным членом $0$.

Более общо, если $M$ — $A$-модуль, существует универсальная $A$-алгебра, называемая $\Gamma _{A}(M)$, с идеалом разделённых степеней $\Gamma _{+}(M)$ и $A$-линейным отображением $M\to \Gamma _{+}(M)$. (Случай многочленов с разделёнными степенями — это частный случай, когда $M$ — свободный модуль над $A$ конечного ранга.)

Если ${\mathfrak {I}}$ — идеал в $A$, существует универсальная конструкция, расширяющая кольцо $A$ с разделёнными степенями элементов ${\mathfrak {I}}$ до обёртывающей кольца с разделёнными степенями ${\mathfrak {I}}$ в $A$.

Применения

Обёртывающая кольца с разделёнными степенями — важный инструмент в теориях PD-дифференциальных операторов и кристаллических когомологий, где разделённые степени используются для обхождения технических трудностей, возникающих при положительной характеристике кольца.

Функтор разделённых степеней используется при построении кофункторов Шура.

Литература

• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur. Notes on Crystalline Cohomology (неопр.). — Princeton University Press, 1978. — (Annals of Mathematics Studies).
• Hazewinkel, Michiel Formal Groups and Applications (неопр.). — Elsevier, 1978. — Т. 78. — С. 507. — (Pure and applied mathematics, a series of monographs and textbooks). — ISBN 0123351502.