В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}
различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим
D
=
b
0
b
2
−
b
1
2
{\displaystyle D=b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}}
,
λ
=
b
1
2
b
0
b
2
{\displaystyle \lambda ={\frac {b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}}}
.[1]
Распределениями Пирсона I типа являются бета — распределения.
Условия:
D
<
0
{\displaystyle D<0}
,
λ
<
0
{\displaystyle \lambda <0}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
(
α
+
x
)
(
−
β
+
x
)
b
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(-\beta +x)b_{2}}
,
α
,
β
>
0
{\displaystyle \alpha ,\beta >0}
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
{
α
2
m
β
2
n
(
α
+
β
)
m
+
n
+
1
B
(
m
+
1
,
n
+
1
)
(
α
+
x
)
m
(
β
−
x
)
n
,
x
∈
[
−
α
,
β
]
0
,
x
∉
[
−
α
,
β
]
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2m}\beta ^{2n}}{(\alpha +\beta )^{m+n+1}B(m+1,n+1)}}(\alpha +x)^{m}(\beta -x)^{n},&x\in [-\alpha ,\beta ]\\0,&x\notin [-\alpha ,\beta ]\end{cases}}}
, где
B
(
m
+
1
,
n
+
1
)
=
Γ
(
m
+
1
)
Γ
(
n
+
1
)
Γ
(
m
+
n
+
2
)
{\displaystyle B(m+1,n+1)={\frac {\Gamma (m+1)\Gamma (n+1)}{\Gamma (m+n+2)}}}
,
m
>
−
1
,
n
>
−
1
{\displaystyle m>-1,n>-1}
.[1]
Условия как для I типа с дополнительными условиями
α
=
β
,
m
=
n
{\displaystyle \alpha =\beta ,m=n}
.[1]
Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения.
Условия:
D
<
0
{\displaystyle D<0}
,
λ
=
∞
{\displaystyle \lambda =\infty }
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
2
(
α
+
x
)
b
1
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=2(\alpha +x)b_{1}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
{
k
m
+
1
Γ
(
m
+
1
)
(
α
+
x
)
m
e
−
k
(
α
+
x
)
,
x
>
−
α
,
k
>
0
0
,
x
⩽
−
α
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k^{m+1}}{\Gamma (m+1)}}(\alpha +x)^{m}e^{-k(\alpha +x)},&x>-\alpha ,k>0\\0,&x\leqslant -\alpha \end{cases}}}
.[1]
Условия:
D
>
0
{\displaystyle D>0}
,
0
<
λ
<
1
{\displaystyle 0<\lambda <1}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
(
α
2
+
x
2
)
b
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
c
(
α
2
+
x
2
)
−
m
exp
−
ν
arctan
x
α
{\displaystyle f(x)=c(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}}
,
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}
,
m
⩾
1
2
{\displaystyle m\geqslant {\frac {1}{2}}}
, где
c
−
1
=
∫
−
∞
∞
(
α
2
+
x
2
)
−
m
exp
−
ν
arctan
x
α
d
x
{\displaystyle c^{-1}=\int _{-\infty }^{\infty }(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}dx}
.[3]
Условия:
D
=
0
{\displaystyle D=0}
,
λ
=
1
{\displaystyle \lambda =1}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
(
α
+
x
)
2
b
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)^{2}b_{2}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
{
γ
m
−
1
Γ
m
−
1
x
−
m
e
−
γ
x
,
γ
>
0
,
m
>
1
,
x
>
0
0
,
x
⩽
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\gamma ^{m-1}}{\Gamma {m-1}}}x^{-m}e^{-{\frac {\gamma }{x}}},&\gamma >0,m>1,x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}}
.[3]
Условия:
D
<
0
{\displaystyle D<0}
,
λ
>
1
{\displaystyle \lambda >1}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
(
α
+
x
)
(
x
−
β
)
b
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(x-\beta )b_{2}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
{
(
α
+
β
)
−
(
m
+
n
+
1
)
B
(
−
m
−
n
−
1
,
n
+
1
)
(
x
+
α
)
m
(
x
−
β
)
n
,
x
>
β
,
m
−
1
>
0
,
n
>
−
1
0
,
x
⩽
β
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {(\alpha +\beta )^{-(m+n+1)}}{B(-m-n-1,n+1)}}(x+\alpha )^{m}(x-\beta )^{n},&x>\beta ,m-1>0,n>-1\\0,&x\leqslant \beta \end{cases}}}
.[3]
Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента.
Условия:
D
>
0
{\displaystyle D>0}
,
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
(
α
2
+
x
2
)
b
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
α
2
m
−
1
B
(
m
−
1
2
,
1
2
)
(
α
2
+
x
2
)
−
m
{\displaystyle f(x)={\frac {\alpha ^{2m-1}}{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}}
,
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}
,
m
⩾
1
2
{\displaystyle m\geqslant {\frac {1}{2}}}
.[3]
Условия:
D
<
0
{\displaystyle D<0}
,
λ
<
0
{\displaystyle \lambda <0}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
x
(
x
+
α
)
b
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
{
m
+
1
α
m
+
1
(
x
+
α
)
m
,
x
∈
[
−
α
,
0
]
,
−
1
<
m
<
0
0
,
x
∉
[
−
α
,
0
]
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],-1<m<0\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}}
.[3]
Условия:
D
<
0
{\displaystyle D<0}
,
λ
<
0
{\displaystyle \lambda <0}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
x
(
x
+
α
)
b
2
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
{
m
+
1
α
m
+
1
(
x
+
α
)
m
,
x
∈
[
−
α
,
0
]
,
m
<
−
1
0
,
x
∉
[
−
α
,
0
]
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],m<-1\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}}
. [3]
Распределением Пирсона X типа является показательное распределение.
Условия:
D
=
0
{\displaystyle D=0}
,
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
b
0
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}}
,
a
1
=
0
{\displaystyle a_{1}=0}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
{
γ
e
−
γ
x
,
x
>
0
,
γ
>
0
0
,
x
⩽
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\gamma e^{-\gamma x},&x>0,\gamma >0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}}
[2]
Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение.
Условия:
D
=
0
{\displaystyle D=0}
,
λ
{\displaystyle \lambda }
неопределённо,
b
0
+
2
b
1
x
+
b
2
x
2
=
b
0
{\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}}
.
Плотность вероятности:
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
exp
−
x
2
2
σ
2
,
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}},x\in (-\infty ,\infty )}
.[2]
Условия как для I типа с дополнительными условиями
α
=
β
,
m
=
−
n
{\displaystyle \alpha =\beta ,m=-n}
.[1]