Расслоение на окружности

Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности $\scriptstyle \mathbf {S} ^{1}$ .

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем расслоений на сферы^[англ.].

Как 3-многообразия править

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером 3-многообразий^[англ.]. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.

Отношение к электродинамике править

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с $\pi ^{\!*}F$ гомологически эквивалентным^[англ.] нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что

\pi ^{\!*}F=dA.

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

\pi :P\to M

,

имеем гомоморфизм

\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )

,

где $\pi ^{\!*}$ является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

Примеры править

Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением $U(1)$ . Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения $L\to X$ и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из $L$ , получаем, что оно является главным расслоением $U(1)$ ^[1]. Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений $U(1)$ согласуются с характеристическими классами $L$ .
Например, рассмотрим аналитификацию $X$ комплексной плоской кривой

{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)

Поскольку $H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$ и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком ${\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}$ , имеет класс Чженя $c_{1}=a\in H^{2}(X)$ .

Классификация править

Классы изоморфности главных расслоений $U(1)$ многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами^[англ.] отображений $M\to BU(1)$ , где $BU(1)$ называется классифицирующим пространством для U(1)^[англ.]. Заметим, что $BU(1)=CP^{\infty }$ является бесконечномерным комплексным проективным пространством^[англ.], и что оно является примером пространства Эйленберга-Маклейна^[англ.] $K(\mathbb {Z} ,2)$ . Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ многообразия M, поскольку

[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)

.

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера^[англ.]. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного линейного расслоения^[англ.] (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна $\mathbb {C} ^{*}$ , комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением $U(1)$ тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение $M\to B\mathbb {Z} _{2}$ гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений $M\to BO_{2}$ . Это следует из расширения групп $SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}$ , где $SO_{2}\equiv U(1)$ .

Комплексы Делиня править

Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$ , расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$ , в то время как $H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$ классифицирует линейные расслоения на снопы^[англ.].

См. также править

Спектральная последовательность

Примечания править

↑ Is every orientable circle bundle principal? (неопр.) Дата обращения: 14 августа 2018. Архивировано 25 августа 2017 года.

Литература править

Shiing-shen Chern. Circle bundles // Lecture Notes in Mathematics. — Springer Berlin/Heidelberg, 1977. — Т. 597/1977. — С. 114–131. — ISBN 978-3-540-08345-0..

[1] Is every orientable circle bundle principal? (неопр.) Дата обращения: 14 августа 2018. Архивировано 25 августа 2017 года.

[1]