Ретракт

Ретракт топологического пространства $X$ — подпространство $A$ этого пространства, для которого существует ретракция $X$ на $A$; то есть непрерывное отображение $f:X\to A$, тождественное на $A$ (то есть такое, что $f(x)=x$ при всех $x\in A$).

Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства. В то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.

Примеры

• Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.
• Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.
• $n$-мерная сфера не является ретрактом $(n+1)$-мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу $H_{n}$. Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Связанные определения

• Подпространство $A$ пространства $X$ называется окрестностным ретрактом, если в $X$ существует открытое подпространство, содержащее $A$, ретрактом которого является $A$.
• Метризуемое пространство $X$ называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего $X$ в качестве замкнутого подпространства.
• Если ретракция пространства $X$ на его подпространство $A$ гомотопна тождественному отображению пространства $X$ на себя, то $A$ называется деформационным ретрактом пространства $X$.
• Линейный оператор $P$ в топологическом векторном пространстве $E$, являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором. Векторное подпространство $F$ топологического векторного пространства $E$ называется дополняемым, если существует непрерывный проектор $P\colon E\to F$.

Свойства

• Подпространство $A$ пространства $X$ является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства $A$ в произвольное топологического пространство $Y$ можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства $X$ в $Y$.
• Если пространство $X$ — хаусдорфово, то всякий ретракт пространства $X$ замкнут в $X$.
• Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
  • компактность,
  • связность,
  • линейная связность,
  • сепарабельность,
  • ограничение сверху на размерность,
  • паракомпактность,
  • нормальность,
  • локальная компактность,
  • локальная связность.
• Если пространство $X$ имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения $f:X\to X$ существует точка $x\in X$ такая, что $f(x)=x$, то и каждый ретракт пространства $X$ обладает свойством неподвижной точки.
• Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством.
• Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Литература

• Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.
• Куратовский К., Топология том 1, пер. с англ., стр 112, 1966