Ряд Лорана

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Определение

Ряд Лорана в конечной точке $z_{0}\in \mathbb {C}$ — функциональный ряд по целым степеням $(z-z_{0})$ над полем комплексных чисел:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad$ где переменная $z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\}$, а коэффициенты $c_{n}\in \mathbb {C}$ для $n\in \mathbb {Z}$.

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

1. $\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ — часть по неотрицательным степеням $(z-z_{0})$,
2. $\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ — часть по отрицательным степеням $(z-z_{0})$.

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если $A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})$ — область сходимости ряда Лорана такая, что $z_{0}\in \partial {A_{z_{0}}}$, то для $A_{z_{0}}$

ряд $\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ называется правильной частью,

ряд $\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке $z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$ — функциональный ряд по целым степеням $z$ над полем комплексных чисел:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad$ где переменная $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, а коэффициенты $c_{n}\in \mathbb {C}$ для $n\in \mathbb {Z}$.

По внешнему виду ряд для $z_{0}=\infty$ совпадает с рядом для $z_{0}=0$, однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены $z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}$ для $\zeta _{0}=0$.

Если $A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})$ — область сходимости ряда Лорана такая, что $\infty \in \partial {A_{\infty }}$, то для $A_{\infty }$

ряд $\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}$ называется правильной частью,

ряд $\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}$ называется главной частью.

Свойства

• Часть по положительным степеням $(z-z_{0})$ сходится во внутренности $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ круга радиуса $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\infty ]$,

часть по отрицательным степеням $(z-z_{0})$ сходится во внешности $\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z-z_{0}|>r\}$ круга $D_{r}$ радиуса $r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]$.

Поэтому, если $r<R\,$, то внутренность $A$ области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

$A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{R}$.

• Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности $C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\}$ зависит только от $\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ для произвольного $n_{s}\in \mathbb {N}$,

а в точках граничной окружности $C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\}$ — только от $\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ для произвольного $n_{s}\in \mathbb {N}$.

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца $A$ может быть разнообразным.

• Во всех точках кольца $A$ ряд Лорана сходится абсолютно.
• На любом компактном подмножестве $K\subset A$ ряд сходится равномерно.
• Для каждой точки $\zeta _{0}\in A$ существует такое значение $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist}}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$, что $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\}\subset A$, и ряд Лорана $f(z)$ может быть записан в виде сходящегося в $D_{\rho }(\zeta _{0})$ ряда по степеням $(z-\zeta _{0})$:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad$ где $z\in D_{\rho }(\zeta _{0})$, а $t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!}}$ для $k\in \{0\}\cup \mathbb {N}$,

т.е. $\zeta _{0}$ является для $f(z)$ правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в $A$ есть аналитическая функция $f(z)$.

• Для $0<r<R<+\infty$ на граничных окружностях кольца сходимости $A$ существуют непустые множества $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$, $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ точек, не являющихся для $f(z)$ правильными.
• Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном $K\subset A$ почленно.
• Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в $A$ функцию только при $c_{-1}=0$, поскольку для любого $\rho >0$ значение $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{\begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\right.$

Ряд $\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,$, представляющий в двусвязной области $A$ функцию $f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,$, для любого компактного $K\subset A$ и любой спрямляемой ориентированной кривой $\gamma \subset K$ можно интегрировать по $\gamma$ почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек $\gamma$ и не зависит от формы кривой $\gamma$.

• Коэффициенты $(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ ряда Лорана $f(z)$ удовлетворяют соотношениям

$c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}$,

где $\gamma$ — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном $K\subset A$ и один раз обходящая против часовой стрелки точку $z_{0}$. В частности, в качестве $\gamma$ можно взять любую окружность $C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\}$ радиуса $\rho \in (r;R)$ с центром в $z_{0}$, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр $t$ должен возрастать).

• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням $(z-z_{0})$, сходящихся в $A_{1}$ и $A_{2}$ соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$ или на гомотопной ей по $A_{1}\cap A_{2}$ спрямляемой кривой $\gamma \sim C_{\rho }$, то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция $f(z)$, являющаяся однозначной и аналитической в кольце $A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}$, представима в $A$ сходящимся рядом Лорана по степеням $(z-z_{0})$.

Представление однозначной аналитической функции $f(z)$ в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности $A_{z_{0}}$ изолированной особой точки:

1) если точка $z_{0}\neq \infty$, то существует радиус $R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]$ такой, что в проколотой окрестности

$A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad$

функция $f(z)$ представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка $z_{0}=\infty$, то существует радиус $r_{\infty }\in [0;+\infty )$ такой, что в проколотой окрестности

$A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \}$

функция $f(z)$ представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки $z_{0}$ определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности $A_{z_{0}}$:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 1: Начала теории. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — 486 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е. — М.: Наука, 1984. — 432 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.