Сжимающее отображение

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

Пусть на метрическом пространстве $(\mathbb {M} ,d)$ определено отображение $A:\mathbb {M} \to \mathbb {M}$. Оно называется сжимающим на $\mathbb {M}$, если существует такое неотрицательное число $\alpha <1$, что для любых двух точек $x,y\in \mathbb {M}$ выполняется неравенство

${d(Ax,Ay)\leqslant \alpha \,d(x,y)}$.

Число $\alpha$ часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Теорема Банаха о сжимающем отображении

Пусть $\left(\mathbb {M} ,\,d\right)$ — полное метрическое пространство. Пусть $A\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M}$ — сжимающее отображение $\mathbb {M}$ в себя. Тогда уравнение $x=Ax$ имеет единственное решение $x^{\ast }\in \mathbb {M}$, причём

$x^{\ast }=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

для всякой последовательности $\{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }$, удовлетворяющей рекуррентному соотношению $x_{n+1}=Ax_{n}$, при любом выборе начальной точки $x_{0}$ из $\mathbb {M}$. Более того, если $\alpha$ — коэффициент сжатия отображения $A$, то справедлива следующая оценка погрешности вычисления $x^{*}$ с помощью элементов последовательности $\{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }$:

$d(x_{n},x^{*})\leqslant {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}\,d(x_{0},x_{1}).$

Свойства

• (Непрерывность) Пусть $\mathbb {} A$ — сжимающее отображение метрического пространства $(\mathbb {M} ,d)$. Тогда $\mathbb {} A$ — непрерывная функция на $\mathbb {M}$.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

$\mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}$.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент $x$ полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов $x,Ax,A^{2}x,....$, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения $A$.

Применение

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

Ссылки

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.