Спектральный радиус

Спектральный радиус — понятие в математике, определяемое для квадратной матрицы как максимум абсолютных значений её собственных значений. В более общем случае, спектральный радиус линейного ограниченного оператора — это точная верхняя граница абсолютных значений элементов его спектра. Спектральный радиус часто обозначается ρ(·).

Определение

Матрицы

Пусть λ₁, ..., λ_n являются собственными значениями матрицы A ∈ C^n×n. Спектральный радиус A определяется как

$\rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.$

Спектральный радиус можно представить как точную нижнюю границу всех норм матрицы. Действительно, с одной стороны, $\rho (A)\leqslant \|A\|$ для каждой естественной нормы матрицы $\|\cdot \|$; а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$. Оба этих результата показаны ниже.

Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ для произвольных векторов $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$. Чтобы понять, почему, пусть $r>1$ будет произвольным, тогда рассмотрим матрицу

$C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}$.

Характеристический многочлен матрицы $C_{r}$ — это $\lambda ^{2}-1$, поэтому его собственные значения равны $\{-1,1\}$ и, следовательно, $\rho (C_{r})=1$. Однако, $C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}$. В результате,

$\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.$

В качестве иллюстрации формулы Гельфанда заметим, что $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ при $k\to \infty$, поскольку $C_{r}^{k}=I$, если $k$ — чётное, и $C_{r}^{k}=C_{r}$, если $k$ — нечётное.

Особым случаем, когда $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ для всех $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$, является ситуация, при которой $A$ — эрмитова матрица и $\|\cdot \|$ — евклидова норма. Это связано с тем, что любая эрмитова матрица является диагонализируемой унитарной матрицей, а унитарные матрицы сохраняют длину вектора. В результате,

$\|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.$

Ограниченные линейные операторы

В контексте ограниченного линейного оператора A на банаховом пространстве собственные значения нужно заменить элементами спектра оператора, то есть значениями $\lambda$, для которых $A-\lambda I$ не является биективным. Обозначим спектр через

$\sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{не биективный}}\right\}$.

Спектральный радиус определяется как точная верхняя грань величин элементов спектра:

$\rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |.$

Формула Гельфанда, также известная как формула спектрального радиуса, справедлива и для ограниченных линейных операторов: пусть $\|\cdot \|$ обозначает норму оператора, тогда имеем

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

Ограниченный оператор (на комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с числовым радиусом. Примером такого оператора является нормальный оператор.

Графы

Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности.

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (то есть существует некоторое вещественное число C такое, что степень каждой вершины графа меньше C). В этом случае, для графа G определяем:

$\ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.$

Пусть γ — оператор смежности G:

${\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}$

Спектральный радиус G определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ.

Верхние границы

Верхние границы спектрального радиуса матрицы

Следующее утверждение предоставляет простые, но полезные верхние границы на спектральный радиус матрицы

Утверждение. Пусть A ∈ C^n×n со спектральным радиусом ρ(A) и согласованной нормой матрицы ||⋅||. Тогда, для каждого целого $k\geqslant 1$:

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

Доказательство

Пусть (v, λ) — пара собственного вектора и собственного значения для матрицы A. В силу субмультипликативности нормы матрицы получаем:

$|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.$

Поскольку v ≠ 0, мы получаем

$|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|$

и поэтому

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}},$

что и требовалось доказать.

Верхние границы для спектрального радиуса графа

Существует множество верхних границ для спектрального радиуса графа в терминах его количества n вершин и количества m рёбер. Например, если

${\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}$

где $3\leq k\leq n$ является целым, тогда

$\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}$

Последовательность степеней

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости последовательности степеней матрицы, как показано в следующей теореме.

Теорема. Пусть A ∈ C^n×n со спектральным радиусом ρ(A). Тогда ρ(A) < 1 тогда и только тогда, когда

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=0.$

С другой стороны, если ρ(A) > 1, то $\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty$. Это утверждение верно для любой выбранной нормы матрицы в C^n×n.

Доказательство Допустим, что $A^{k}$ стремится к нулю, когда $k$ стремится к бесконечности. Мы покажем, что ρ(A) < 1. Пусть (v, λ) — пара собственного вектора и собственного значения для A. Так как A^kv = λ^kv, у нас есть следующее:

${\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}.\end{aligned}}$

Поскольку v ≠ 0 по предположению, то должно выполняться следующее утверждение:

$\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,$

из чего следует, что |λ| < 1. Поскольку это должно быть верным для любого собственного значения λ, мы можем сделать вывод, что ρ(A) < 1.

Теперь предположим, что радиус A меньше 1. Из теоремы о жордановой нормальной форме известно, что для всех A ∈ C^n×n, существуют V, J ∈ C^n×n, где V — невырожденная и J — блочная диагональная, такие что:

$A=VJV^{-1}$

с

$J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

где

$J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.$

Легко заметить, что

$A^{k}=VJ^{k}V^{-1}$

и, поскольку J — блочно-диагональная,

$J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}.$

Теперь стандартный результат k-ой степени блока Жордана размера $m_{i}\times m_{i}$ утверждает, что для $k\geq m_{i}-1$:

$J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}$

Таким образом, если $\rho (A)<1$, то для всех i верно $|\lambda _{i}|<1$. Следовательно, для всех i у нас есть:

$\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0$,

из чего следует

$\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.$

Следовательно,

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0.$

С другой стороны, если $\rho (A)>1$, то по крайней мере один элемент в J не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения.

Формула Гельфанда

Формула Гельфанда, названная в честь Израиля Гельфанда, предоставляет спектральный радиус как предел матричных норм.

Теорема

Для любой матричной нормы ||⋅||, у нас есть

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$.

Более того, в случае согласованной матричной нормы $\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ приближается к $\rho (A)$ сверху (действительно, в этом случае $\rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ для всех $k$).

Доказательство

Для любого ε > 0, определим две следующие матрицы:

$A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.$

Таким образом,

$\rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).$

Начнем с применения предыдущей теормы о пределах последовательностей степеней к A₊:

$\lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.$

Это показывает существование N₊ ∈ N такого, что для всех k ≥ N₊,

$\left\|A_{+}^{k}\right\|<1.$

Поэтому,

$\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .$

Аналогично, теорема о последовательностях степеней подразумевает, что $\|A_{-}^{k}\|$ не ограничена и существует N₋ ∈ N такое, что для всех k ≥ N₋,

$\left\|A_{-}^{k}\right\|>1.$

Следовательно,

$\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .$

Пусть N = max{N₊, N₋}. Тогда,

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,$

то есть,

$\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A),$

что и требовалось доказать.

Следствие

Формула Гельфанда даёт оценку спектрального радиуса произведения коммутирующих матриц: если $A_{1},\ldots ,A_{n}$ — матрицы, все коммутирующие между собой, то

$\rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).$

Числовой пример

Рассмотрим матрицу

$A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}},$

собственные значения которой равны 5, 10, 10; по определению, ρ(A) = 10. В следующей таблице приведены значения $\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}$ для четырёх наиболее используемых норм в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы, $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$):

k	$\|\cdot \|_{1}=\|\cdot \|_{\infty }$	$\|\cdot \|_{F}$	$\|\cdot \|_{2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Литература

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Functional Analysis, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1