Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
0
=
t
{\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3},x^{0}=t}
, такой что инваринтное собственное время
d
τ
2
=
−
g
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
{\displaystyle d\tau ^{2}=-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}
не зависит от
t
{\displaystyle t}
, а зависит от
x
,
d
x
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {dx} }
только через инварианты группы поворотов:
x
2
,
x
⋅
d
x
,
d
x
2
{\displaystyle \mathbf {x^{2}} ,\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} ,\mathbf {dx^{2}} }
. Самый общий вид записи интервала:
d
τ
2
=
F
(
r
)
d
t
2
−
2
E
(
r
)
d
t
x
⋅
d
x
−
D
(
r
)
(
x
⋅
d
x
)
2
−
C
(
r
)
d
x
2
,
{\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2E(r)dt\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} -D(r)(\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} )^{2}-C(r)\mathbf {dx^{2}} ,}
где
F
,
E
,
C
,
D
{\displaystyle F,E,C,D}
— неизвестные функции величины
r
≡
(
x
⋅
x
)
1
/
2
{\displaystyle r\equiv (\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}}
Сведение к стандартному виду
править
Выгодно заменить
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
сферическими полярными координатами
r
,
θ
,
ϕ
{\displaystyle r,\theta ,\phi }
:
x
1
=
r
sin
θ
cos
φ
;
{\displaystyle x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \,;}
x
2
=
r
sin
θ
sin
φ
;
{\displaystyle x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \,;}
x
3
=
r
cos
φ
.
{\displaystyle x^{3}=r\cos \varphi \,.}
Интервал в таком случае примет вид:
d
τ
2
=
F
(
r
)
d
t
2
−
2
r
E
(
r
)
d
t
d
r
−
r
2
D
(
r
)
d
r
2
−
C
(
r
)
(
d
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
φ
2
)
{\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}
,
Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты
t
′
≡
t
+
Φ
(
r
)
{\displaystyle t'\equiv t+\Phi (r)}
где
Φ
(
r
)
{\displaystyle \Phi (r)}
— произвольная функция от
r
{\displaystyle r}
. Это позволяет исключить недиагональный элемент
g
t
r
{\displaystyle g_{tr}}
,
положив
d
Φ
d
r
=
−
r
E
(
r
)
F
(
r
)
{\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {rE(r)}{F(r)}}}
Тогда интервал выражается так:
d
τ
2
=
F
(
r
)
d
t
′
2
−
r
2
G
(
r
)
d
r
2
−
C
(
r
)
(
d
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
φ
2
)
{\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt'^{2}-r^{2}G(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}
G
(
r
)
≡
r
2
(
D
(
r
)
+
E
2
(
r
)
F
(
r
)
)
{\displaystyle G(r)\equiv r^{2}\left(D(r)+{\frac {E^{2}(r)}{F(r)}}\right)}
Мы можем переопределить радиус
r
{\displaystyle r}
и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции
F
,
G
,
C
{\displaystyle F,G,C}
, например следующим образом
r
′
≡
r
2
C
(
r
)
{\displaystyle r'\equiv r^{2}C(r)}
. Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:
d
τ
2
=
B
(
r
′
)
d
t
′
2
−
A
(
r
′
)
d
r
′
2
−
r
′
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
φ
2
)
{\displaystyle d\tau ^{2}=B(r')dt'^{2}-A(r')dr'^{2}-r'^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}
где
B
(
r
)
≡
F
(
r
′
)
{\displaystyle B(r)\equiv F(r')}
A
(
r
)
≡
(
1
+
G
(
r
)
C
(
r
)
)
(
1
+
r
2
C
(
r
)
d
C
(
r
)
d
r
)
−
2
.
{\displaystyle A(r)\equiv \left(1+{\frac {G(r)}{C(r)}}\right)\left(1+{\frac {r}{2C(r)}}{\frac {dC(r)}{dr}}\right)^{-2}.}
После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:
g
r
r
=
A
(
r
)
{\displaystyle g_{rr}=A(r)}
g
θ
θ
=
r
2
{\displaystyle g_{\theta \theta }=r^{2}}
g
ϕ
ϕ
=
r
2
s
i
n
2
θ
{\displaystyle g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta }
g
t
t
=
−
B
(
r
)
{\displaystyle g_{tt}=-B(r)}
Где функции
A
(
r
)
{\displaystyle A(r)}
і
B
(
r
)
{\displaystyle B(r)}
должны быть определены путём решения уравнений поля. Так как
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
— диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:
g
r
r
=
A
−
1
(
r
)
{\displaystyle g^{rr}=A^{-1}(r)}
g
θ
θ
=
r
−
2
{\displaystyle g^{\theta \theta }=r^{-2}}
g
ϕ
ϕ
=
r
−
2
s
i
n
−
2
θ
{\displaystyle g^{\phi \phi }=r^{-2}sin^{-2}\theta }
g
t
t
=
−
B
−
1
(
r
)
{\displaystyle g^{tt}=-B^{-1}(r)}
Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:
Γ
i
j
s
=
1
2
g
s
k
(
∂
i
g
j
k
+
∂
j
g
k
i
−
∂
k
g
i
j
)
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)}
Её ненулевые компоненты оказываются равными:
Γ
r
r
r
=
1
2
A
(
r
)
d
A
(
r
)
d
x
{\displaystyle \Gamma _{rr}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dA(r)}{dx}}}
,
Γ
ϕ
ϕ
r
=
−
r
s
i
n
2
θ
A
(
r
)
{\displaystyle \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-{\frac {rsin^{2}\theta }{A(r)}}}
,
Γ
r
θ
θ
=
Γ
θ
r
θ
=
1
r
{\displaystyle \Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r}}}
,
Γ
r
ϕ
ϕ
=
Γ
ϕ
r
ϕ
=
1
r
{\displaystyle \Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r}}}
,
Γ
θ
θ
r
=
−
r
A
(
r
)
{\displaystyle \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-{\frac {r}{A(r)}}}
,
Γ
t
t
r
=
1
2
A
(
r
)
d
B
(
r
)
d
x
{\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}}
,
Γ
ϕ
ϕ
θ
=
−
s
i
n
θ
c
o
s
θ
{\displaystyle \Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta }
,
Γ
θ
ϕ
ϕ
=
Γ
ϕ
θ
ϕ
=
c
t
g
θ
{\displaystyle \Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=ctg\theta }
,
Γ
t
r
t
=
Γ
r
t
t
=
1
2
B
(
r
)
d
B
(
r
)
d
x
{\displaystyle \Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {1}{2B(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}}
,
Вычислим также тензор Риччи. Он задаётся выражением
R
σ
ν
=
R
ρ
σ
ρ
ν
=
∂
ρ
Γ
ν
σ
ρ
−
∂
ν
Γ
ρ
σ
ρ
+
Γ
ρ
λ
ρ
Γ
ν
σ
λ
−
Γ
ν
λ
ρ
Γ
ρ
σ
λ
.
{\displaystyle R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}-\partial _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }.}
Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности, получим:
R
r
r
=
B
″
(
r
)
2
B
(
r
)
−
1
4
B
′
(
r
)
B
(
r
)
(
A
′
(
r
)
A
(
r
)
+
B
′
(
r
)
B
(
r
)
)
−
1
r
A
′
(
r
)
A
(
r
)
{\displaystyle R_{rr}={\frac {B''(r)}{2B(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{B(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {A'(r)}{A(r)}}}
,
R
θ
θ
=
−
1
+
r
2
A
(
r
)
(
−
A
′
(
r
)
A
(
r
)
+
B
′
(
r
)
B
(
r
)
)
+
1
A
(
r
)
{\displaystyle R_{\theta \theta }=-1+{\frac {r}{2A(r)}}\left(-{\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)+{\frac {1}{A(r)}}}
,
R
ϕ
ϕ
=
s
i
n
2
θ
R
θ
θ
{\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}\theta R_{\theta \theta }}
,
R
t
t
=
B
″
(
r
)
2
A
(
r
)
−
1
4
B
′
(
r
)
A
(
r
)
(
A
′
(
r
)
A
(
r
)
+
B
′
(
r
)
B
(
r
)
)
−
1
r
B
′
(
r
)
A
(
r
)
{\displaystyle R_{tt}={\frac {B''(r)}{2A(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}}
,
(Штрих теперь означает дифференцирование по
r
{\displaystyle r}
). Вследствие инвариантности метрики относительно поворотов компоненты
R
θ
r
{\displaystyle R_{\theta r}}
,
R
θ
ϕ
{\displaystyle R_{\theta \phi }}
,
R
ϕ
r
{\displaystyle R_{\phi r}}
,
R
ϕ
t
{\displaystyle R_{\phi t}}
,
R
θ
t
{\displaystyle R_{\theta t}}
тождественно равны нулю, а
R
ϕ
ϕ
=
s
i
n
2
R
θ
θ
{\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}R_{\theta \theta }}
. Равенство нулю
R
t
r
{\displaystyle R_{tr}}
связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантна относительно обращения времени
t
↔
−
t
{\displaystyle t\leftrightarrow -t}
.
↑
Вейнберг С. Гравитация и космология. — M.: Мир, 1975.