Структурная индукция

Структурная индукция — конструктивный метод математического доказательства, обобщающий математическую индукцию (применяемую над натуральным рядом) на произвольные рекурсивно определённые частично упорядоченные совокупности. Структурная рекурсия — реализация структурной индукции в форме определения, процедуры доказательства или программы, обеспечивающая индукционный переход над частично упорядоченной совокупностью.

Изначально метод использовался в математической логике, также нашёл применение в теории графов, комбинаторике, общей алгебре, математической лингвистике, но наибольшее распространение как самостоятельно изучаемый метод получил в теоретической информатике, где применяется в вопросах семантики языков программирования, формальной верификации, вычислительной сложности, функционального программирования.

В отличие от нётеровой индукции — наиболее общей формы математической индукции, применяемой над произвольными фундированными множествами, — в понятии о структурной индукции подразумевается конструктивный характер, вычислительная реализация. При этом фундированность совокупности — свойство, необходимое для рекурсивной определяемости, таким образом, структурную рекурсию можно считать частным вариантом нётеровой индукции.

История

Использование метода встречается по крайней мере с 1950-х годов, в частности, в доказательстве теоремы Лося об ультрапроизведениях применяется индукция по построению формулы, при этом сам метод особым образом явно не назывался. В те же годы метод применялся в теории моделей для доказательств над цепями моделей, считается, что появление термина «структурная индукция» связано именно с этими доказательствами. Карри поделил все виды применения индукции в математике на два типа — дедуктивную индукцию и структурную индукцию, классическую индукцию над натуральными числами считая подтипом последней.

С другой стороны, не позднее начала 1950-х годов метод трансфинитной индукции уже распространялся на произвольные частично упорядоченные множества, удовлетворяющие условию обрыва возрастающих цепей (что эквивалентно фундированности), в то же время Генкин отсылал к возможности индукции «в некоторых типах частично-упорядоченных систем». В 1960-е годы метод закрепился под наименованием нётеровой индукции (по аналогии с нётеровым кольцом, в котором выполнено условие обрыва возрастающих цепей идеалов).

Явное определение структурной индукции, ссылающееся как на рекурсивную определимость, так и на нётерову индукцию, дано Бёрстоллом (англ. Rod Burstall) в конце 1960-х годов, и в литературе по информатике именно к нему относят введение метода.

В дальнейшем в информатике возникло несколько направлений, основывающихся на структурной индукции как базовом принципе, в частности, таковы структурная операционная семантика языков программирования Плоткина (англ. Gordon Plotkin), серия индуктивных методов формальной верификации, структурно-рекурсивный язык запросов UnQL. В 1990-е годы в теоретической информатике получил распространение метод коиндукции, применяемый над нефундированными (как правило, бесконечными) структурами и считающийся двойственным структурной индукции.

В связи с широким применением в теоретической информатике и немногочисленностью упоминаний в математической литературе, по состоянию на 2010-е годы считается, что выделение структурной индукции как особого метода в большей степени характерно для информатики, нежели для математики.

Определение

Наиболее общее определение вводится для класса структур ${\mathfrak {S}}$ (без уточнения природы структур $S\in {\mathfrak {S}}$) с отношением частичного порядка между структурами $\sqsubseteq$, с условием минимального элемента $S_{0}$ в ${\mathfrak {S}}$ и условием наличия для каждой $S\in {\mathfrak {S}}$ вполне упорядоченной совокупности из всех строго предшествующих ей структур: $\triangledown S=\{T\in {\mathfrak {S}}\mid T\sqsubset S\}$. Принцип структурной индукции в этом случае формулируется следующим образом: если выполнение свойства $P$ для ${\mathfrak {S}}$ следует из выполнения свойства для всех строго предшествующих ей структур, то свойство выполнено и для всех структур класса; символически (в обозначениях систем натурального вывода):

${\frac {\forall T\in \triangledown S:P(T)\Rightarrow P(S)}{\forall S\in {\mathfrak {S}}:P(S)}}$.

Рекурсивность в этом определении реализуется совокупностью вложенных структур: как только есть способ определять выводить свойства структуры исходя из свойств всех предшествующих ей, можно говорить о рекурсивной определимости структуры.

В литературе по информатике распространена и другая форма определения структурной индукции, ориентированная на рекурсию по построению, в ней ${\mathfrak {S}}$ рассматривается как класс объектов, определённых над некоторым множеством атомарных элементов ${\mathcal {A}}\in {\mathfrak {S}}$ и набором операций $\left\{{\mathcal {o}}_{i}:{\mathfrak {S}}^{k_{i}}\to {\mathfrak {S}}\right\}$, при этом каждый объект $S\in {\mathfrak {S}}$ — результат последовательного применения операций к атомарным элементам. В этой формулировке принцип утверждает, что свойство $P$ выполняется для всех объектов $S\in {\mathfrak {S}}$, как только имеет место для всех атомарных элементов и для каждой операции ${\mathcal {o}}_{i}$ из выполнения свойства для элементов $S_{1},\dots ,S_{i_{k}}$ следует выполнение свойства для ${\mathcal {o}}_{i}(S_{1},\dots ,S_{i_{k}})$:

${\frac {\forall A\in {\mathcal {A}}:P(A),\,\forall i:(P(S_{1}),\dots P(S_{i_{k}}\Rightarrow P({\mathcal {o}}_{i}(S_{1},\dots ,S_{i_{k}}))}{\forall S\in {\mathfrak {S}}:P(S)}}$.

Роль отношения частичного порядка $\sqsubseteq$ из общего определения здесь играет отношение включения по построению: $\forall _{j=1\dots i_{k}}S_{j}\sqsubseteq {\mathcal {o}}_{i}(S_{1},\dots ,S_{i_{k}})$.

Примеры

Введение принципа в информатику мотивировалось рекурсивным характером таких структур данных, как списки и деревья. Первый пример над списком, приводимый Бёрстоллом — утверждение о свойствах свёртки списков $\circledast$ с элементами типа $T$ двухместной функцией $\ast :T^{2}\to T$ и начальным элементом свёртки $t\in T$ в связи с конкатенацией списков $\shortparallel$:

$(S_{1}\shortparallel S_{2})\circledast t=S_{1}\circledast (S_{2}\circledast t)$.

Структурная индукция в доказательстве этого утверждения ведётся от пустых списков — если $S_{1}=\bot$, то:

левая часть, по определению конкатенации: $(\bot \shortparallel S_{2})\circledast t=S_{2}\circledast t$,

правая часть, по определению свёртки: $\bot \circledast (S_{2}\circledast t)=S_{2}\circledast t$

и в случае, если список непуст, и начинается элементом $x$, то:

левая часть, по определениям конкатенации и свёртки: $((x::S_{1})\shortparallel S_{2})\circledast t=x\ast ((S_{1}\shortparallel S_{2})\circledast t)$,

правая часть, по определению свёртки и предположению индукции: $(x::S_{1})\circledast (S_{2}\circledast t)=x\ast ((S_{1}\shortparallel S_{2})\circledast t)$.

Предположение индукции основывается на истинности утверждения для $S_{1}$ и включении $S_{1}\sqsubseteq x::S_{1}$.

В теории графов структурная индукция часто применяется для доказательств утверждений о многодольных графах (с использованием перехода от $(k-1)$-дольных к $k$-дольным), в теоремах об амальгамировании графов, свойств деревьев и лесов. Другие структуры в математике, для которых применяется структурная индукция — перестановки, матрицы и их тензорные произведения, конструкции из геометрических фигур в комбинаторной геометрии.

Типичное применение в математической логике и универсальной алгебре — структурная индукция по построению формул из атомарных термов, например, показывается, что выполнение требуемого свойства $P$ для термов $A$ и $B$ влечёт $P(A\vee B)$, $P(A\wedge B)$, $P(\lnot A)$ и так далее. Также по построению формул работают многие структурно-индуктивные доказательства в теории автоматов, математической лингвистике; для доказательства синтаксической корректности компьютерных программ широко используется структурная индукция по БНФ-определению языка (иногда даже выделяется в отдельный подтип — БНФ-индукция).

Литература

• B. Steffen, O. Rüthing, M. Huth. Mathematical Foundations of Advanced Informatics. — Springer, 2018. — Vol. 1. Inductive Approaches. — ISBN 978-3-319-68396-6.
• R. M. Burstall. Proving properties of programs by structural induction // The Computer Journal. — 1969. — Vol. 12, № 1. — P. 41–48. — doi:10.1093/comjnl/12.1.41.
• D. Gunderson. Handbook of Mathematical Induction. Theory and Applications. — Boca Raton: CRC, 2011. — 893 с. — ISBN 978-1-4200-9364-3.
• Х. Карри. Основания математической логики. — М.: Мир, 1969. — 567 с.