Тело сечений

Тело сечений — конструкция, дающая тело для данного тела евклидова пространства.

Определение было дано Лютваком в 1988 году. Эта конструкция сыграла заметную роль в решении задачи Буземана — Петти.

Определение

Предположим, что $K$ — выпуклое симметричное тело в $d$-мерном евклидовом пространстве. Тогда тело сечений для тела $K$ есть тело, ограниченное гиперповерхностью, образованной всеми векторами вида

$\mathop {S} (K\cap u^{\perp })\cdot u,$

где $u$ — единичный вектор, $u^{\perp }$ — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная $u$, а $\mathop {S}$ — площадь, точнее $(d-1)$-мерный объём.

Свойства

• Теорема Буземана. Пусть $K$ есть выпуклое симметричное тело в $d$-мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Тогда тело сечений $K$ также выпукло.

Литература

• Lutwak, Erwin (1988), "Intersection bodies and dual mixed volumes", Advances in Mathematics, 71 (2): 232—261, doi:10.1016/0001-8708(88)90077-1, ISSN 0001-8708, MR 0963487