Теневое исчисление

Теневое исчисление (от англ. Umbral calculus, далее от лат. umbra — «тень») — математический метод получения некоторых алгебраических тождеств. До 1970-х термин относился к схожести некоторых внешне несвязанных алгебраических тождеств, а также к техникам, использованных для доказательства этих тождеств. Эти техники предложил Джон Блиссард и они иногда называются символическим методом Блиссарда. Их часто приписывают Эдуарду Люка (или Джеймсу Джозефу Сильвестру), которые их интенсивно использовали.

В 1930-х и 1940-х Эрик Темпл Белл пытался поставить теневое исчисление на строгое основание.

В 1970-х Стивен Роман, Джан-Карло Рота и другие разработали теневое исчисление в смысле линейных функционалов на пространстве многочленов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера, включая последовательности многочленов биномиального типа и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей.

Теневое исчисление в 19-м столетии

Метод является процедурой обозначений, используемых для получающихся тождеств, вовлекающих индексированные последовательности чисел, предполагая, что индексы являются степенями. Буквальное использование абсурдно, но работает успешно — тождества, полученные с помощью теневого исчисления, могут быть должным образом получены с помощью более сложных методов, которые могут быть использованы буквально без логических трудностей.

Пример использует многочлены Бернулли. Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальные коэффициенты):

$(y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}$

и удивительно похоже выглядящее соотношение для многочленов Бернулли:

$B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.$

Также сравним первую производную

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

с очень похожим отношением для многочленов Бернулли:

${\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).$

Эти сходства позволяют построить теневые доказательства, которые, на первый взгляд, не могут быть верны, но всё же работают. Так, для примера, если считать, что индекс $n-k$ является степенью:

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},$

после дифференцирования получаем желаемый результат:

$B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).$

В формулах выше $b$ является «umbra» (латинское слово, обозначающее «тень»).

См. также Формула Фаульхабера.

Теневые ряды Тейлора

Похожие связи наблюдались также в теории конечных разностей. Теневая версия ряда Тейлора задаётся подобными выражениями, использующими $k$-ые правосторонние разности $\Delta ^{k}[f]$ многочлена $f$,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!}}(x)_{k}$

где

$(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$

— символ Похгаммера, используемый здесь для обозначения убывающего факториала. Похожее соотношение имеет место для левосторонних разностей и возрастающих факториалов.

Эти ряды известны также как ряды Ньютона или правостороннее разложение Ньютона. Аналог разложения Тейлора используется в исчислении конечных разностей.

Белл и Риордан

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такого рода аргументацию логически строгой. Джон Риордан, работавший в области комбинаторики, в своей книге Combinatorial Identities (Комбинаторные тождества), опубликованной в 1960-х годах, использовал данную технику интенсивно.

Современное теневое исчисление

Другой учёный в области комбинаторики, Джиан-Карло Рота, указал на то, что таинственность исчезает, если рассматривать линейный функционал $L$ над многочленами от $z$, определённый как

$L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.$

Тогда, используя определение многочленов Бернулли и определение линейности $L$, можно записать

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x)^{n}\right).$

Это позволяет заменить вхождение $B_{n}(x)$ на $L((z+x)^{n})$, то есть перенести $n$ из нижнего индекса в верхний (ключевая операция теневых исчислений). Например, мы можем теперь доказать, что

$B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}$

путём разложения правой части

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).$

Рота позднее утверждал, что много путаницы получились из-за неудач в различении трёх отношений эквивалентности, которые возникают в этой области.

В статье 1964 года Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии, которой удовлетворяют числа Белла, которые подсчитывают число разбиений конечных множеств.

В статье Романа и Роты теневое исчисление описывается как изучение теневой алгебры (umbral algebra), определённой как алгебра линейных функционалов над векторным пространством многочленов от $x$ с произведением $L_{1}L_{2}$ линейных функционалов, определённым как

$\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{n-k}\rangle .$

Если последовательность многочленов заменяет последовательность чисел как образы $y^{n}$ при линейном отображении $L$, теневой метод выглядит как существенная составляющая общей теории Рота специальных многочленов и эта теория является теневым исчислением при некоторых более современных определениях этого термина. Небольшой пример этой теории можно найти в статье о последовательности многочленов биномиального типа. Другая статья — Последовательность Шеффера.

Позднее Рота применял теневое исчисление интенсивно в совместной статье с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств полуинвариантов.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A. Di Bucchianico, D. Loeb. A Selected Survey of Umbral Calculus // Electronic Journal of Combinatorics. — 2000. — Т. DS3. Архивировано 24 февраля 2012 года.
• Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I