Тензоры в физической кинетике

Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды править

Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы $\mathrm {m}$ , импульса $\mathrm {\vec {p}}$ и энергии $\varepsilon$ .

При этом:

первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.

При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой $\mathrm {m}$ , а зарядом $\mathrm {q}$ .

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:

сохраняемость в замкнутых системах;
аддитивность.

Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

$\mathbf {\Pi } ={\begin{array}{|ccc|}\Pi _{11}&\Pi _{12}&\Pi _{13}\\\Pi _{21}&\Pi _{22}&\Pi _{23}\\\Pi _{31}&\Pi _{32}&\Pi _{33}\\\end{array}}$ , $\mathrm {\Pi _{mn}=m\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\mathrm {v} _{m}\mathrm {v} _{n}d^{3}\mathrm {v} }$ ,

где

$\Pi _{mn}$ – количество $\mathrm {m}$ -й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в $\mathrm {n}$ -м направлении.
$\mathrm {f({\vec {\mathrm {v} }})}$ – функция распределения частиц по скоростям.

Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

$\mathrm {{\Pi _{11}+\Pi _{22}+\Pi _{33} \over 2}={m \over 2}\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})(\mathrm {v} _{1}^{2}+\mathrm {v} _{2}^{2}+\mathrm {v} _{3}^{2})d^{3}\mathrm {v} =\varepsilon _{K}^{(V)}}$

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

$\mathrm {{\partial \ \rho \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {p}}^{(V)}={\delta \ \rho \over \delta \ t}}$

и энергии:

$\mathrm {{\partial \ \varepsilon ^{(V)} \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {q}}-{\vec {V}}\cdot {\vec {F}}^{(V)}={\delta \ \varepsilon ^{(V)} \over \delta \ t}}$ .

А именно:

$\mathrm {{\partial \ p_{m}^{(V)} \over \partial \ t}+\sum _{mn}{\partial \ \Pi _{mn} \over \partial \ r_{n}}-F_{m}^{(V)}={\delta \ p_{m}^{(V)} \over \delta \ t}}$

где:

$\rho$ – плотность массы;
$\mathrm {{\vec {p}}^{(V)}=\rho {\vec {V}}}$ – плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
$\mathrm {\vec {V}}$ – среднемассовая скорость;
$\mathrm {\varepsilon ^{(V)}=\varepsilon _{K}^{(V)}+{\rho \over m}\varepsilon _{\chi }}$ – плотность энергии;
$\mathrm {\mathrm {{\vec {q}}={m \over 2}\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\mathrm {v} ^{2}{\vec {\mathrm {v} }}\ d^{3}\mathrm {v} +\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\varepsilon _{\chi }{\vec {\mathrm {v} }}\ d^{3}\mathrm {v} } }$ – плотность потока энергии;
$\varepsilon _{\chi }$ – внутренняя энергия частицы;
$\mathrm {{\vec {F}}^{(V)}}$ – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
$\mathrm {\delta \over \delta \ t}$ – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды).

Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:

громоздкость;
необходимость записи в трех проекциях;
привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

$\mathrm {\Pi _{mn}=\rho V_{m}V_{n}+\delta _{mn}P-\sigma _{mn}^{I}}$

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

$\mathrm {\sigma _{mn}^{I}=\eta {\Biggl (}{\partial \ V_{m} \over \partial \ r_{n}}+{\partial \ V_{n} \over \partial \ r_{m}}-{2 \over 3}\delta _{mn}\nabla \cdot {\vec {V}}{\Biggr )}}$

где

$\mathrm {P}$ – давление;
$\mathrm {\sigma _{mn}^{I}}$ – компонента тензора вязких напряжений

Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Необходимость выбора править

Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

Понятие тензора определенного ранга править

В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга $\mathrm {M}$ в $\mathrm {I}$ -мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается $\mathrm {I^{M}}$ числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство ( $\mathrm {I=3}$ ), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга $\mathrm {M}$ является величина, которая полностью описывается $\mathrm {3^{M}}$ элементами.

В таком случае:

скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.

Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:

единственный элемент, из которого состоит скаляр $\Phi$ , не требует индекса в записи значения;
каждый из трех элементов $\mathrm {A_{m}}$ вектора $\mathrm {\vec {A}}$ обозначается индексом $\mathrm {m}$ , изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
каждый из $\mathrm {3^{M}}$ элементов $\mathrm {A^{(m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M})}}$ тензора $\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf {A}$ обозначается $\mathrm {M}$ индексами $\mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}}$ , изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо $\mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}}$ будем писать $\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ .

В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором $\mathrm {M}$ -го ранга есть тензор $\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}}$ , в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице $\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ -го элемента.

В таком случае:

$e^{(\ \ )}$ : единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
$\mathrm {e^{(m)}=i_{m}}$ : единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Операции с тензорами править

Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор $\mathrm {\vec {D}}$ равен сумме векторов $\mathrm {\vec {A}}$ и $\mathrm {\vec {B}}$ , если элемент вектора $\mathrm {\vec {D}}$ равен сумме соответствующих элементов векторов $\mathrm {\vec {A}}$ и $\mathrm {\vec {B}}$ :

1.1. $\mathrm {{\vec {D}}={\vec {A}}+{\vec {B}}}$ $\longrightarrow$ $\mathrm {D_{m}=A_{m}+B_{m}}$ .

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор $\mathrm {\vec {D}}$ равен произведению вектора $\mathrm {\vec {A}}$ и скаляра $\mathrm {C}$ , если элемент вектора $\mathrm {\vec {D}}$ равен произведению соответствующего элемента вектора $\mathrm {\vec {A}}$ и скаляра $\mathrm {C}$ :

1.2. $\mathrm {{\vec {D}}=C\ {\vec {A}}}$ $\longrightarrow$ $\mathrm {D_{m}=C\ A_{m}}$ .

Тензор $\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf {D}$ равен сумме тензоров такого же ранга $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ , если элемент тензора $\mathbf {D}$ равен сумме соответствующих элементов тензоров $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ :

1.3. $\mathbf {D} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$ $\longrightarrow$ $\mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}+B^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор $\mathbf {D}$ равен произведению тензора $\mathbf {A}$ и скаляра $\mathrm {C}$ , если элемент тензора $\mathbf {D}$ равен произведению соответствующего элемента тензора $\mathbf {A}$ и скаляра $\mathrm {C}$ :

1.4. $\mathrm {\mathbf {D} =C\ \mathbf {A} }$ $\longrightarrow$ $\mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=C\ A^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор $\mathrm {\vec {A}}$ может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. $\mathrm {{\vec {A}}=\sum _{m}i_{m}A_{m}}$ .

При этом нет смысла говорить о результате произведения $\mathrm {i_{m}A_{m}}$ – единственный смысл записи $\mathrm {i_{m}A_{m}}$ состоит в указании, что величине $\mathrm {A_{m}}$ равен именно $\mathrm {m}$ -й элемент вектора .

Тензор $\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf {A}$ может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. $\mathrm {\mathbf {A} =\sum _{m_{1}...m_{M}}e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

При этом нет смысла говорить о результате произведения $\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}}$ – единственный смысл записи $\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}}$ состоит в указании, что величине $\mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}}$ равен именно $\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ -й элемент тензора $\mathbf {A}$ .

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. $\mathrm {i_{m}A_{m}=A_{m}i_{m}}$ .

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8. $\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}e^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора $\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf {A}$ и тензора $\mathrm {N}$ -го ранга $\mathbf {B}$ является тензор $\mathrm {M+N}$ -го ранга $\mathbf {D}$ , если $\mathrm {m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N}}$ -й элемент тензора $\mathbf {D}$ равен произведению $\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ -го элемента тензора $\mathbf {A}$ и $\mathrm {n_{1}...n_{N}}$ -го элемента тензора $\mathbf {B}$ :

1.9. $\mathbf {D} =\mathbf {A} \ \mathbf {B}$ $\longrightarrow$ $\mathrm {D^{(m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N})}=A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}}$ .

Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор $\mathrm {M}$ -го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. $\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{M}}}$ .

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, $\mathrm {\mathbf {A} =\sum _{m_{1}...m_{M}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}}$ ,

1.12. $\mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{i}}A^{(m_{1}...m_{M})}i_{m_{i+1}}...i_{m_{M}}}$ .

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения " $\circ$ ", соответствующего трем различным случаям:

1.13. $\circ ={\bigl (}$ " ", " × ", " · " ${\bigr )}$ .

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. $\mathrm {{\vec {A}}\circ {\vec {B}}=\sum _{mn}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}\circ {\bigl (}i_{n}B_{n}{\bigr )}=\sum _{mn}{\bigl (}i_{m}\circ i_{n}{\bigr )}A_{m}B_{n}=\sum _{mn}A_{m}B_{n}{\bigl (}i_{m}\circ i_{n}{\bigr )}}$ ,

1.15. $\mathrm {\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}{\bigl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\bigr )}\circ {\bigl (}i_{n_{1}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}{\bigr )}=}$

$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\bigl (}i_{m_{M}}\circ i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}=}$

$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}{\bigl (}i_{m_{M}}\circ i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}}$ .

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. $\mathrm {i_{m}i_{n}=e^{(mn)}}$ ,

1.17. $\mathrm {i_{m}\times i_{m}=0}$ ,

$\mathrm {i_{1}\times i_{2}=-i_{2}\times i_{1}=i_{3}}$ ,

$\mathrm {-i_{1}\times i_{3}=i_{3}\times i_{1}=i_{2}}$ ,

$\mathrm {i_{2}\times i_{3}=-i_{3}\times i_{2}=i_{1}}$ ,

1.18. $\mathrm {i_{m}\cdot i_{n}=\delta _{mn}}$ ,

где $\mathrm {\delta _{mn}}$ – символ Кронекера:

1.19. $\mathrm {\delta _{mn}=\left\{{\begin{matrix}1,&\mathrm {m=n} \\0,&\mathrm {m\neq n} \end{matrix}}\right.}$ .

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор $\mathrm {\vec {A}}$ в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора $\mathrm {\vec {A}}$ из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. $\mathrm {A_{m}=i_{m}\cdot {\vec {A}}={\vec {A}}\cdot i_{m}}$

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. $\mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{M}}\cdot {\Bigl (}...\cdot {\Bigl (}i_{m_{1}}\cdot \mathbf {A} {\Bigr )}{\Bigr )}={\Bigl (}{\Bigl (}\mathbf {A} \cdot i_{m_{M}}{\Bigr )}\cdot ...{\Bigr )}\cdot i_{m_{1}}}$ .

Дифференциальные операторы в применении к тензорам править

Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона $\nabla$ , имеющего, как известно, запись:

1.22. $\mathrm {\nabla =\sum _{n}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}}$ .

Результатом тензорного действия оператора $\nabla$ является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению, в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора $\nabla$ в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. $\mathrm {\nabla \circ ={\biggl (}\sum _{n}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggr )}\circ =\sum _{n}i_{n}\circ {\partial \over \partial \ r_{n}}}$ .

Таким образом, имеем:

градиент скаляра:

1.24. $\mathrm {\nabla \Phi =\sum _{n}i_{n}{\partial \ \Phi \over \partial \ r_{n}}}$ ;

ротор вектора:

1.25. $\mathrm {\nabla \times {\vec {A}}=\sum _{n}i_{n}\times {\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{nm}i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}=\sum _{nm}{\biggl (}i_{n}\times i_{m}{\partial \ A_{m} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\times {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}A_{m}{\biggr )}}$ ;

дивергенция вектора:

1.26. $\mathrm {\nabla \cdot {\vec {A}}=\sum _{n}i_{n}\cdot {\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{nm}i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}=\sum _{nm}{\biggl (}i_{n}\cdot i_{m}{\partial \ A_{m} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\cdot {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}A_{m}{\biggr )}}$ .

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:

градиент тензора произвольного ранга:

1.27. $\mathrm {\nabla \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$

$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ ;

ротор тензора ранга выше нулевого:

1.28. $\mathrm {\nabla \times \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\times {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$

$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\times i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ ;

дивергенция тензора ранга выше нулевого:

1.29. $\mathrm {\nabla \cdot \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\cdot {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$

$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\cdot i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ .

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. $\mathrm {\nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\circ {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\circ {\biggl (}{\partial \over \partial \ r_{n}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$

$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\circ i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\circ {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ .

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. $\mathrm {{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\biggr )}={\partial \ i_{m_{1}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{2}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+i_{m_{1}}{\partial \ i_{m_{2}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{3}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+i_{m_{1}}i_{m_{2}}{\partial \ i_{m_{3}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{4}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+...}$

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты $\mathrm {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}$ .

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа $\Delta$ :

1.32. $\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla$ .

Результат действия оператора $\Delta$ на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. $\mathrm {\Delta \mathbf {A} =\sum _{mn}i_{m}\cdot {\partial \over \partial \ r_{m}}{\biggl (}i_{n}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}{\biggr )}=\sum _{m}{\biggl (}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial \ r_{m}^{2}}+{\biggl (}\sum _{n}i_{m}\cdot {\partial \ i_{n} \over \partial \ r_{m}}{\Biggr )}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}{\Biggr )}}$ .

Некоторые характеристики тензоров второго ранга править

Представление тензора как матрицы

Тензор $\mathbf {A}$ второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. $\mathrm {\mathbf {A} ={\begin{array}{|ccc|}A^{(11)}&A^{(12)}&A^{(13)}\\A^{(21)}&A^{(22)}&A^{(23)}\\A^{(31)}&A^{(32)}&A^{(33)}\\\end{array}}}$ .

След тензора второго ранга

Следом $\mathrm {Tr\mathbf {A} }$ тензора второго ранга $\mathbf {A}$ называют сумму его диагональных элементов:

1.35. $\mathrm {Tr\mathbf {A} =\sum _{n}A^{(nn)}=A^{(11)}+A^{(22)}+A^{(33)}}$ .

Сопряженный тензор

Тензор $\mathbf {A} ^{*}$ называют сопряженным тензору $\mathbf {A}$ , если элементы тензора $\mathbf {A} ^{*}$ получаются перестановкой индексов элементов тензора $\mathbf {A}$ :

1.36. $\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{*}$ $\longrightarrow$ $\mathrm {B^{(mn)}=A^{(nm)}}$ .

Можно заметить, что:

1.37. $(\mathbf {A} ^{*})^{*}\equiv \mathbf {A}$ .

Симметричный тензор

Тензор $\mathbf {A}$ называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38. $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}$ $\longrightarrow$ $\mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}}$ .

Унитарный тензор

Унитарный тензор $\mathbf {\boldsymbol {\delta }}$ есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39. $\mathrm {\delta ^{(mn)}=\delta _{mn}}$ $\longrightarrow$ $\mathrm {\mathbf {\boldsymbol {\delta }} ={\begin{array}{|ccc|}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}=\sum _{mn}i_{m}i_{n}\delta _{mn}=\sum _{n}i_{n}i_{n}}$ .

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. $\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {A}$ ,

1.41. $\nabla \cdot {\bigl (}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ \mathbf {A} {\bigr )}=\nabla \mathbf {A}$ ,

1.42. $\nabla \cdot {\bigl (}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \cdot \mathbf {A} {\bigr )}=\nabla \mathbf {\cdot } {A}$ ,

1.43. $\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {A}}\ \mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\bigr )}=\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ \nabla \cdot {\vec {A}}$ ,

1.44. $\nabla \cdot {\bigl (}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\vec {A}}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\bigr )}={\bigl (}\nabla {\vec {A}}{\bigr )}^{*}$ ,

где тензор, сопряженный градиенту вектора $\mathrm {\vec {A}}$ :

1.45. $\mathrm {{\bigl (}\nabla {\vec {A}}{\bigr )}^{*}=\sum _{n}{\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}i_{n}}$

и внутреннее произведение унитарного тензора и вектора ${\vec {A}}$ :

1.46. $\mathrm {{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\vec {A}}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }=\sum _{n}i_{n}{\vec {A}}\ i_{n}}$ .

Симметричные тензоры. Операция симметрии править

Тензор $\mathbf {A}$ произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. $\mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}}$ ;

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. $\mathrm {A^{(kmn)}=A^{(knm)}=A^{(mkn)}=A^{(mnk)}=A^{(nkm)}=A^{(nmk)}}$ ;

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. $\mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(iknm)}=A^{(imkn)}=A^{(imnk)}=A^{(inkm)}=A^{(inmk)}=}$

$\mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(kinm)}=A^{(mikn)}=A^{(mink)}=A^{(nikm)}=A^{(nimk)}=}$

$\mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(knim)}=A^{(mkin)}=A^{(mnik)}=A^{(nkim)}=A^{(nmik)}=}$

$\mathrm {A^{(kmni)}=A^{(knmi)}=A^{(mkni)}=A^{(mnki)}=A^{(nkmi)}=A^{(nmki)}}$

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора $\mathrm {n}$ -го ранга равно $\mathrm {n!}$ .

Любой тензор $\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$ произвольного ранга $n$ может быть преобразован в симметричный тензор с помощью операции симметрии:

1.50. $\mathrm {{\bigl \lfloor }\mathbf {A} ^{[n]}{\bigr \rfloor }={1 \over n!}\sum \mathbf {A} ^{[n]*}}$ ,

где $\mathrm {\sum \mathbf {A} ^{[n]*}}$ – сумма исходного тензора $\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$ и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор $\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$ уже является симметричным, имеет место $\mathrm {{\bigl \lfloor }\mathbf {A} ^{[n]}{\bigr \rfloor }=\mathbf {A} ^{[n]}}$ .

Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектора править

Тензор $\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$ произвольного ранга $\mathrm {n}$ может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора $\mathrm {\vec {a}}$ :

1.51. $\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}=\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n}}$ .

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. $\mathrm {\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n}={\vec {a}}^{\lceil n\rceil }}$ .

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках $\mathrm {\lceil n\rceil }$ , чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. $\mathrm {{\vec {a}}^{\lceil 2\rceil }={\vec {a}}\ {\vec {a}}}$

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. $\mathrm {{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}=a^{2}}$ .

Можно убедиться, что:

1.55. $\mathrm {{\bigl \lfloor }{\vec {a}}^{\lceil n\rceil }{\bigr \rfloor }\equiv {\vec {a}}^{\lceil n\rceil }}$ .

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. $\mathrm {{\bigl (}a+b{\bigr )}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n! \over k!(n-k)!}a^{n-k}b^{k}}$ .

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. $\mathrm {{\bigl (}{\vec {a}}+{\vec {b}}{\bigr )}^{\lceil n\rceil }=\sum _{k=0}^{n}{n! \over k!(n-k)!}{\bigl \lfloor }{\vec {a}}^{\lceil n-k\rceil }{\vec {b}}^{\lceil k\rceil }{\bigr \rfloor }}$ .

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. $\mathrm {d\ a^{n}=d(\underbrace {a\ a...a} _{n})=(\underbrace {d\ a(\underbrace {a\ a...a} _{n-1})+a\ d\ a(\underbrace {a\ a...a} _{n-2})+...} _{n})=n\ a^{\lceil n-1\rceil }d\ a}$ .

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. $\mathrm {d\ {\vec {a}}^{\lceil n\rceil }=d(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n})=(\underbrace {d\ {\vec {a}}(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n-1})+{\vec {a}}\ d\ {\vec {a}}(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n-2})+...} _{n})=n\lfloor {\vec {a}}^{\lceil n-1\rceil }d\ {\vec {a}}\rfloor }$ .

Кратное скалярное произведение править

В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. $\mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{\overset {(k)}{\bullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}=i_{m_{1}}...i_{m_{m-k}}{\bigl (}i_{m_{m-k+1}}\cdot i_{n_{k}}{\bigr )}...{\bigl (}i_{m_{m}}\cdot i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{k+1}}...i_{n_{n}}}$ ,

то есть:

1.61. $\mathrm {\mathbf {C} ^{[m+n-2k]}=\mathbf {A} ^{[m]}{\overset {(k)}{\bullet }}\mathbf {B} ^{[n]}\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{m}\\\mathrm {n_{1}...n_{n}} \end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{m})}B^{(n_{1}...n_{n})}i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{\overset {(k)}{\bullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}}$

и

1.62. $\mathrm {C^{(m_{1}...m_{m+n-2k})}=\sum _{k_{1}...k_{k}}A^{(m_{1}...m_{m-k}k_{1}...k_{k})}B^{(k_{1}...k_{k}m_{m-k+1}...m_{m+n-2k})}}$ .

Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:

1.63. $\mathrm {A^{(m_{1}...m_{m})}=i_{m_{m}}...i_{m_{1}}{\overset {(m)}{\bullet }}\mathbf {A} ^{[m]}=\mathbf {A} ^{[m]}{\overset {(m)}{\bullet }}i_{m_{m}}...i_{m_{1}}}$

Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряжений править

Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:

1.64. $\mathrm {{\partial \ {\vec {p}}^{(V)} \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ={\delta \ {\vec {p}}^{(V)} \over \delta \ t}}$

Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:

1.65. $\mathrm {\mathbf {\Pi } =\rho {\vec {V}}\ {\vec {V}}+\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P-{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$

и для тензора вязких напряжений:

1.66. $\mathrm {{\boldsymbol {\sigma }}^{I}=2\ \eta {\Biggl (}{\Bigl \lfloor }{\nabla V}{\Bigr \rfloor }-{{\boldsymbol {\delta }} \over 3}\nabla \cdot {\vec {V}}{\Biggr )}}$ .

Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):

1.67. $\mathrm {{\vec {q}}^{\kappa }=-\kappa \nabla T}$

представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин $\mathrm {{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$ и $\mathrm {{\vec {q}}^{\kappa }}$ по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.

Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.

На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.

Уравнения моментов функции распределения править

Механические моменты и моменты функции распределения править

Основные уравнения газодинамики представляют собой уравнения моментов функции распределения частиц по скоростям. Функция $\mathrm {f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})}$

2.1. $\mathrm {d^{2}N_{\alpha }=f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})d^{3}r\ d^{3}\mathrm {v} }$ ,

где

$\mathrm {d^{3}r}$ – элемент объема в пространстве координат;
$\mathrm {d^{3}v}$ – элемент объема в пространстве скоростей;
$\mathrm {d^{2}N_{\alpha }}$ – количество частиц в элементе объема $\mathrm {d^{3}r}$ в пространстве координат и элементе объема $\mathrm {d^{3}\mathrm {v} }$ в пространстве скоростей.

Инструментом для отыскания функции $\mathrm {f_{\alpha }({\vec {v}})}$ является кинетическое уравнение:

2.2. $\mathrm {{\partial \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\Bigl (}f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}){\vec {\mathrm {v} }}{\Bigr )}+\nabla _{\mathrm {v} }\cdot {\Bigl (}f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}){{\vec {F}}_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over m_{\alpha }}{\Bigr )}={\delta \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \delta \ t}}$ ,

где

$\mathrm {{\vec {F}}_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})}$ – сила, действующая на частицу сорта $\alpha$ , имеющую скорость $\mathrm {\vec {v}}$ ;
$\mathrm {\nabla _{\mathrm {v} }=i_{x}{\partial \over \partial \ \mathrm {v} _{x}}+i_{y}{\partial \over \partial \ \mathrm {v} _{y}}+i_{z}{\partial \over \partial \ \mathrm {v} _{z}}}$ – оператор Гамильтона в пространстве скоростей;
$\mathrm {\delta \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \delta \ t}$ – интеграл столкновений – изменение $\mathrm {f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})}$ в единицу времени в результате столкновений.

Основные механические характеристики частицы представляют собой моменты массы ^[1], где момент массы $\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})}$ порядка $\mathrm {n}$ определяется выражением:

2.3. $\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil n\rceil }}$ .

Например:

момент массы 0-го порядка $\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil n\rceil }}$ представляет собой просто массу частицы;
момент массы 1-го порядка $\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[1]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 1\rceil }={m}_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}}$ представляет собой импульс частицы;
момент массы 2-го порядка $\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[2]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 2\rceil }={m}_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}\ {\vec {\mathrm {v} }}}$ представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого $\mathrm {{1 \over 2}Tr{\bigl (}\mathbf {m} _{\alpha }^{[2]}({\vec {\mathrm {v} }}){\bigr )}={1 \over 2}m_{\alpha }\mathrm {v} ^{2}}$ есть кинетическая энергия частицы,

Основные газодинамические параметры представляют собой моменты функции распределения ^[1]:

2.4. $\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[n]}=n_{\alpha }\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})=\textstyle \int \mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})d^{3}\mathrm {v} =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil n\rceil }\rangle }$ ,

где

$\mathrm {n_{\alpha }}$ – концентрация (количество частиц в единице объема);
$\langle \ \ \rangle$ – символ осреднения по скоростям.

Например:

момент 0-го порядка $\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[0]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 0\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }=\rho _{\alpha }}$ представляет собой плотность массы (массу единицы объема);
момент 1-го порядка $\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[1]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 1\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}\rangle ={\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}}$ представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);
момент 2-го порядка $\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[2]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 2\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}\ {\vec {\mathrm {v} }}\rangle =\mathbf {\Pi } _{\alpha }}$ представляет собой плотность потока импульса (кинетический тензор, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого $\mathrm {{1 \over 2}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {M} _{\alpha }^{[2]}=\varepsilon _{\alpha }^{V}}$ есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);
момент 3-го порядка $\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[3]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 3\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle =\mathbf {Q} _{\alpha }}$ представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого $\mathrm {{1 \over 2}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {M} _{\alpha }^{[3]}={\vec {q}}_{\alpha }}$ равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности).

Похожее описание приведено в работе R. Fitzpatrick Plasma Physics : An Introduction, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка $\mathbf {Q} _{\alpha }$ .

Уравнения моментов функции распределения править

Уравнение момента $\mathrm {n}$ -го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы $\mathrm {n}$ -го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.

В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:

2.5. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {M} _{\alpha }^{[n+1]}-n{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {M} _{\alpha }^{[n]}\times {\vec {B}}+\mathbf {M} _{\alpha }^{[n-1]}{\vec {E}}{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \delta \ t}}$ ,

где $\mathrm {\delta \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \delta \ t}$ – изменение момента в единицу времени в результате столкновений:

2.6. $\mathrm {{\delta \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \delta \ t}={\textstyle \int }\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }}){\delta \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \delta \ t}d^{3}\mathrm {v} }$ .

В зависимости от порядка $n$ можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):

при $\mathrm {n}$ =0 – уравнение непрерывности:

2.7. $\mathrm {{\partial \ \rho _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}={\delta \ \rho _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ;

при $\mathrm {n}$ =1 – уравнение движения:

2.8. $\mathrm {{\partial \ {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{\alpha }-{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl (}{\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}\times {\vec {B}}+\rho _{\alpha }{\vec {E}}{\bigr )}={\delta \ {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \delta \ t}}$ ;

при $\mathrm {n}$ =2 – уравнение потока импульса:

2.9. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {Q} _{\alpha }-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {\Pi } _{\alpha }\times {\vec {B}}+{\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}{\vec {E}}{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ;

при $\mathrm {n}$ =3 – уравнение моменте третьего порядка:

2.10. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {Q} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {M} _{\alpha }^{[4]}-3{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {Q} _{\alpha }\times {\vec {B}}+\mathbf {\Pi } _{\alpha }{\vec {E}}{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {Q} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ .

Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментов править

На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента $\mathrm {n}$ -го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка $\mathrm {n+1}$ .

В любом описании система уравнений газодинамики замыкается приближенно с использованием предположений того или иного уровня точности.

Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей статических моментов.

Сопутствующей системой координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе (хаотическая скорость) может быть представлена так:

2.11. ${\vec {v}}\mathrm {={\vec {\mathrm {v} }}-{\vec {V}}_{\alpha }}$ .

При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости $\mathrm {{\vec {V}}_{\alpha }=\langle {\vec {\mathrm {v} }}\rangle }$ имеем:

2.12. $\langle {\vec {v}}\rangle \equiv 0$ .

Таким образом, первый момент (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.

Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и могут находиться подстановкой ${\vec {v}}$ вместо ${\vec {\mathrm {v} }}$ в выражения для моментов функции распределения:

2.13. $\mathrm {\mathbf {P} _{\alpha }=m_{\alpha }n_{\alpha }} \langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle$ ,

2.14. $\mathrm {\mathbf {G} _{\alpha }=m_{\alpha }n_{\alpha }} \langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle$ ,

2.15. $\mathrm {\mathbf {W} _{\alpha }=m_{\alpha }n_{\alpha }} \langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle$ ,

где

$\mathbf {P} _{\alpha }$ – тензор давления компоненты, равный кинетическому тензору $\mathbf {\Pi } _{\alpha }$ в сопутствующей системе координат;
$\mathbf {G} _{\alpha }$ – третий статический момент, равный третьему моменту $\mathbf {Q} _{\alpha }$ в сопутствующей системе координат;
$\mathbf {W} _{\alpha }$ – четвертый статический момент, равный четвертому моменту $\mathbf {M} _{\alpha }^{[4]}$ в сопутствующей системе координат.

Тензор $\mathbf {G} _{\alpha }$ можно условно называть потоком давления.

Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:

2.16. $\mathrm {\mathbf {\Pi } _{\alpha }=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+\mathbf {P} _{\alpha }}$ ,

2.17. $\mathrm {\mathbf {Q} _{\alpha }=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+3{\bigl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }{\bigr \rfloor }+\mathbf {G} _{\alpha }}$ ,

2.18. $\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[4]}=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+6{\bigl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }{\bigr \rfloor }+4{\bigl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {G} _{\alpha }{\bigr \rfloor }+\mathbf {W} _{\alpha }}$ .

При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать уравнение давления:

2.19. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {P} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }+\mathbf {G} _{\alpha }{\bigr )}-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+2{\bigl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {P} _{\alpha } \over \delta \ t}}$

и уравнение потока давления:

2.20. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {G} _{\alpha }+\mathbf {W} _{\alpha }{\bigr )}-3{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+3{\biggl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }-{\mathbf {P} _{\alpha }\nabla \cdot \mathbf {P} _{\alpha } \over \rho _{\alpha }}{\biggr \rfloor }={\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ,

где $\mathrm {\delta \ \mathbf {P} _{\alpha } \over \delta \ t}$ и $\mathrm {\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}$ – изменения $\mathbf {P} _{\alpha }$ и $\mathbf {G} _{\alpha }$ в единицу времени в результате столкновений, равные:

2.21. ${\delta \mathbf {P} _{\alpha } \over \delta t}={\delta \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \delta t}-2{\biggl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }{\delta {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \delta t}{\biggr \rfloor }+{\vec {V}}_{\alpha }{\delta \rho _{\alpha } \over \delta t}$

2.22. $\mathrm {{\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}={\delta \ \mathbf {Q} _{\alpha } \over \delta \ t}-3{\Biggl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }{\delta \ \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \delta \ t}+{\mathbf {P} _{\alpha }-{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \rho _{\alpha }}{\biggl (}{\delta \ {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \delta \ t}-{\vec {V}}_{\alpha }{\delta \ \rho _{\alpha } \over \delta \ t}{\biggr )}{\Biggr \rfloor }}$ .

Можно заметить, что половина следа тензора $\mathbf {G} _{\alpha }$ представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:

2.23. $\mathrm {{1 \over 2}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {G} _{\alpha }={\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }}$ .

Следует также отметить, что понятие тензора вязких напряжений является реликтом, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.

На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса вместе с частицами, а не результата обмена импульсами (действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:

2.24. $\mathrm {\mathbf {\Pi } _{\alpha }=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P_{\alpha }+\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }}$ ,

где $\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }$ – тензор вязкости, равный:

2.25. $\mathrm {\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }=\mathbf {P} _{\alpha }-\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P_{\alpha }=-{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$ .

Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках $\mathrm {\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }=-{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$ между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса вместе с молекулами и тензором вязких напряжений как "силой", действующей на объем.

Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге Б. Росси и С. Ольберта "Introduction to the physics of space" ^[2], но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора $\mathbf {G} _{\alpha }$ .

Приближение третьего ранга править

Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче.

Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга $\mathbf {W} _{\alpha }$ . При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по ${\vec {v}}$ распределении.

Например, при максвелловском распределении имеет место равенство:

2.26. $\mathrm {\mathbf {W} _{\alpha }=3{\bigl \lfloor }\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\bigr \rfloor }{P_{\alpha }P_{\alpha } \over \rho _{\alpha }}}$ .

В работе ^[1] предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):

2.27. $\mathbf {W} _{\alpha }=3{{\bigl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }{\bigr \rfloor } \over \rho _{\alpha }}$ .

В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид

2.28. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {G} _{\alpha }{\bigr )}-3{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+3{\bigl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }+3{\biggl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\cdot \nabla {\biggl (}{\mathbf {P} _{\alpha } \over \rho _{\alpha }}{\biggr )}{\biggr \rfloor }={\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ,

то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.

Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления $\mathrm {P_{\alpha }={1 \over 3}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {P} _{\alpha }}$ :

2.29. $\mathrm {{\partial \ P_{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }P_{\alpha }+{2 \over 3}{\vec {G}}_{\alpha }{\bigr )}+{2 \over 3}{\bigl \lfloor }P_{\alpha }\nabla \cdot {\vec {V}}_{\alpha }+(\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }\cdot \nabla )\cdot {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }={\delta \ P_{\alpha } \over \delta \ t}}$ .

С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:

2.30. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\biggl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }+\mathbf {G} _{\alpha }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\biggr )}-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+2P_{\alpha }{\biggl (}{\bigl \lfloor }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}\nabla \cdot {\vec {V}}_{\alpha }{\biggr )}={\delta \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ .

Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя $\mathrm {\mathbf {P} _{\alpha }=\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P_{\alpha }}$ (как при максвелловском распределении) можно показать для теплопроводности:

2.31. $\mathrm {{\partial \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\bigr )}+{3 \over 2}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\cdot \nabla {\vec {V}}_{\alpha }-{3 \over 2}{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+{5 \over 2}{P_{\alpha }k \over \rho _{\alpha }}\nabla T_{\alpha }={\delta \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \delta \ t}}$ .

Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так^[3]:

2.32. $\mathrm {{\delta \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \delta \ t}=-{3 \over 2}{\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ ,

2.33. $\mathrm {{\delta \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \delta \ t}=-{{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ ,

где $\mathrm {\tau _{\alpha \alpha }^{d}}$ – эффективное время передачи давления^[3].

Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:

2.34. $\mathrm {{\partial \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\biggl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }+\mathbf {G} _{\alpha }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\biggr )}-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+2P_{\alpha }{\biggl (}{\bigl \lfloor }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}\nabla \cdot {\vec {V}}_{\alpha }{\biggr )}=-{3 \over 2}{\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ ,

2.35. $\mathrm {{\partial \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\bigr )}+{3 \over 2}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\cdot \nabla {\vec {V}}_{\alpha }-{3 \over 2}{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+{5 \over 2}{P_{\alpha }k \over \rho _{\alpha }}\nabla T_{\alpha }=-{{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ .

Граничные условия и характеристики столкновений править

Можно заметить, что "классические" выражения для вязкости и теплопроводности можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях только последние слагаемые. Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.

Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).

Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует пространственный слой заряда (ленгмюовский слой), по своей природе неоднородный и нестационарный. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является зеркальным - происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.

Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах^[4]^[5]^[6].

Актуальным остается вопрос о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом упругих и неупругих столкновений в объеме.

См. также править

Литература править

Речкалов В.Г. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: Учебное пособие для вузов [текст]/ В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с.

Примечания править

↑ ¹ ² ³ С. Ю. Нестеренко, Ш. Рошанпур. Система уравнений моментов функции распределения частиц по скоростям в разреженной среде индукционных источников плазмы, электронов и ионов // Авиационно-космическая техника и технология. — 2013. — № 7 (104). — С. 117-120. — ISSN 1727-7337. Архивировано 28 августа 2016 года.
↑ Б. Росси, С. Ольберт. Введение в физику космического пространства // Москва, Атомиздат. — 1974. — ISSN 5-9648-0006-8.
↑ ¹ ² Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Физическая кинетика. Теоретическая физика. Т. 10. // Москва: Наука. Архивировано 28 августа 2016 года.
↑ S h . R o s h a n p u r. Electron gas parameters change inside Langmuir layer in electric propulsion devices // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. — 2013. — № 4/5 ( 64 ). — С. 36-39. — ISSN 1729-3774. Архивировано 16 сентября 2016 года.
↑ Le Quang Quyen, Ngo Dai Phong, S. Yu. Nesterenko, S. Roshanpour. Effect of electrons non-mirror reflection from potential shield on plasma borders inside helicon and Hall effect thrusters // IEPC-2013-411. Архивировано 28 августа 2016 года.
↑ А.В. Лоян, С.Ю. Нестеренко, Ш. Рошанпур, А.И.Цаглов. Математическое моделирование процессов в индукционных высокочастотных источниках плазмы и электронов // Авиационно-космическая техника и технология. — 2011. — № 10(87). — С. 203-206. — ISSN 1727-7337. Архивировано 17 сентября 2016 года.

[:0-1] ¹ ² ³ С. Ю. Нестеренко, Ш. Рошанпур. Система уравнений моментов функции распределения частиц по скоростям в разреженной среде индукционных источников плазмы, электронов и ионов // Авиационно-космическая техника и технология. — 2013. — № 7 (104). — С. 117-120. — ISSN 1727-7337. Архивировано 28 августа 2016 года.

[2] Б. Росси, С. Ольберт. Введение в физику космического пространства // Москва, Атомиздат. — 1974. — ISSN 5-9648-0006-8.

[:1-3] ¹ ² Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Физическая кинетика. Теоретическая физика. Т. 10. // Москва: Наука. Архивировано 28 августа 2016 года.

[4] S h . R o s h a n p u r. Electron gas parameters change inside Langmuir layer in electric propulsion devices // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. — 2013. — № 4/5 ( 64 ). — С. 36-39. — ISSN 1729-3774. Архивировано 16 сентября 2016 года.

[5] Le Quang Quyen, Ngo Dai Phong, S. Yu. Nesterenko, S. Roshanpour. Effect of electrons non-mirror reflection from potential shield on plasma borders inside helicon and Hall effect thrusters // IEPC-2013-411. Архивировано 28 августа 2016 года.

[6] А.В. Лоян, С.Ю. Нестеренко, Ш. Рошанпур, А.И.Цаглов. Математическое моделирование процессов в индукционных высокочастотных источниках плазмы и электронов // Авиационно-космическая техника и технология. — 2011. — № 10(87). — С. 203-206. — ISSN 1727-7337. Архивировано 17 сентября 2016 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]