Тензор напряжений Максвелла (назван в честь Джеймса Клерка Максвелла) представляет собой симметричный тензор второго порядка, используемый в классическом электромагнетизме для представления взаимодействия между электромагнитными силами и механическим импульсом. В простых случаях, таких как точечный заряд, свободно движущийся в однородном магнитном поле, легко рассчитать силы, действующие на заряд, согласно силе Лоренца. В более сложных случаях такая обычная процедура может стать непрактично сложной с уравнениями, охватывающими несколько строк. Поэтому удобно собрать многие из этих членов в тензоре напряжений Максвелла и использовать тензорную арифметику, чтобы найти ответ на поставленную задачу.
Ниже показано, что электромагнитная сила записывается параметрами E и B. Используя векторное исчисление и уравнения Максвелла, ищется симметрия в выражениях, содержащих E и B, а введение тензора напряжений Максвелла упрощает результат.
Уравнения Максвелла в единицах СИ в вакууме (для справки)
Выражение, по-видимому, «отсутствует» в симметрии в E and B, что может быть достигнуто путём вставки (∇ ⋅ B)B, ввиду закона Гаусса для электромагнетизма:
Это выражение содержит каждый аспект электромагнетизма и импульса и относительно легко вычисляется. Его можно записать более компактно, введя тензор напряжений Максвелла,
Всё, кроме последнего члена f, можно записать как тензорную дивергенцию тензора напряжений Максвелла, получая:
Как и в теореме Пойнтинга, второй член в правой части приведенного уравнения может быть интерпретирован как производная по времени от плотности импульса электромагнитного поля, в то время как первый член является производной по времени от плотности импульса для массивных частиц. Таким образом, приведённое выше уравнение будет законом сохранения импульса в классической электродинамике, где введён вектор Пойнтинга
В приведённом выше соотношении сохранения импульса, является плотностью потока импульса и играет роль, аналогичную в теореме Пойнтинга.
Приведённый выше вывод предполагает полное знание параметров ρ и J (как свободных, так и ограниченных зарядов и токов). В случае нелинейных материалов (таких как магнитное железо с BH-кривой (кривой плотности магнитного потока)) необходимо использовать нелинейный тензор напряжений Максвелла. [1]
Элемент ij тензора напряжений Максвелла имеет единицы импульса на единицу площади в единицу времени и даёт поток импульса, параллельный i-й оси, пересекающий поверхность, перпендикулярную j-й оси (в отрицательном направлении) в единицу времени.
Эти единицы также можно рассматривать как единицы силы на единицу площади (отрицательное давление), а элемент ij тензора также можно интерпретировать как силу, параллельную оси i, действующую на поверхность, перпендикулярную оси j, на единицу. площади. Действительно, диагональные элементы задают натяжение (напряжение, вытягивание), действующее на дифференциальный элемент площади по нормали к соответствующей оси. В отличие от сил, вызванных давлением идеального газа, элемент площади в электромагнитном поле также испытывает силу, направленную не по нормали к элементу. Этот сдвиг задается недиагональными элементами тензора напряжений.
Если поле является только магнитным (что в значительной степени верно, например, для двигателей), некоторые члены выпадают, и уравнение в единицах СИ принимает вид:
Для цилиндрических объектов, таких как ротор двигателя, это выражение упрощается до:
где r — сдвиг в радиальном (наружу от цилиндра) направлении, t — сдвиг в тангенциальном (вокруг цилиндра) направлении. Это тангенциальная сила, которая вращает двигатель. Br — плотность потока в радиальном направлении, а Bt — плотность потока в тангенциальном направлении.
В электростатике эффекты магнетизма отсутствуют. В этом случае магнитное поле исчезает, , и мы получаем тензор электростатических напряжений Максвелла . Он дается в виде компонентов
и в символической форме
где является подходящим тождественным тензором (обычно ).