Теорема Барбье

Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Ж. Барбье (фр.) (рус., описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка править

Длина любой кривой постоянной ширины $a$ равна $\pi a$ .

Доказательства править

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины $a$ , тогда и только тогда, когда сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса $a$ . С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса $a$ , то есть $\pi a$ .^[1]

Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии $d$ друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной ${\frac {L}{\pi d}}$ , где $L$ — периметр этой фигуры^[2]^[3]. Поскольку фигура постоянной ширины $a$ удовлетворяет условию этой теоремы для $d=a$ , а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться $\pi a$ .^[4]

Вариации и обобщения править

Теорема Барбье также выполняется для фигур постоянной ширины в плоскости Минковского.
Формула Крофтона

Примечания править

↑ Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut The Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.
↑ Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. (недоступная ссылка)
↑ Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand (англ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55, no. 6. — P. 501-524. — doi:10.1007/s004070100038.
↑ Bogomolny A. Math Surprises: An Example (англ.). Cut The Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.

Литература править

Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. (недоступная ссылка)
Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut the Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.
Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 1-4020-0609-8. (англ.)
Weisstein, Eric W. Barbier's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut The Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.

[2] Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. (недоступная ссылка)

[3] Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand (англ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55, no. 6. — P. 501-524. — doi:10.1007/s004070100038.

[4] Bogomolny A. Math Surprises: An Example (англ.). Cut The Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.

[1]

[2]

[3]

[4]