Теорема Бохнера — Хинчина

Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.

Теория вероятностей

Формулировка

Пусть $\varphi (u)$ - непрерывная функция $u\in R^{n}$ и $\varphi (0)=1$. Для того, чтобы функция $\varphi (u)$ была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом $m>0$ для любых вещественных чисел $u_{1},u_{2},...,u_{m}$ и любых комплексных чисел $z_{1},z_{2},...,z_{m}$ выполняется неравенство $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j}}}\geqslant 0$.

Здесь ${\bar {z_{j}}}$ означает комплексно сопряжённое к $z_{j}$ число.

Теория случайных процессов

Формулировка

Пусть $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией $B(t)$.

• Если $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ - скалярный процесс с дискретным временем, то:

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{в случае комплексного процесса}}\\\int _{0}^{\pi }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right],&{\mbox{в случае действительного процесса}}\end{cases}}$

где $F(\lambda )$ - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по $B(t)$ однозначно, если потребовать, чтобы $F(-\pi )=0$ и $F(\lambda )$ была непрерывной справа, $C(\lambda )$ - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации, $Q(\lambda )$ - действительная нечетная функция ограниченной вариации.

• Если $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ - векторный процесс с дискретным временем, то для $B(t)$ имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где $F(\lambda )$ - матрица, приращения которой $F(\lambda _{1})-F(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}$ эрмитовы и неотрицательно определены, $C(\lambda )$ - вещественная симметричная матрица, приращения которой $C(\lambda _{1})-C(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}$ неотрицательно определены, $Q(\lambda )$ - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица $F(\lambda )$ определяется однозначно по $B(t)$, если потребовать, чтобы $F(-\pi )=0$ (нулевая матрица) и $F(\lambda )$ была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).

• Если $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ - скалярный процесс с непрерывным временем, то:

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{в случае комплексного процесса}}\\\int _{0}^{\infty }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right],&{\mbox{в случае действительного процесса}}\end{cases}}$

где функции $F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$ определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия $F(-\infty )=0$.

• Если $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ - векторный процесс с непрерывным временем, то для $B(t)$ имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы $F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$ определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия $F(-\infty )=0$ (нулевая матрица).

См. также

• Характеристическая функция случайной величины