Теорема Гирсанова

Теорема Гирсанова (иногда Теорема CMG по фамилиям авторов — Cameron, Martin, Girsanov) — применяемая в стохастической финансовой математике теорема, позволяющая определить изменение стохастического дифференциального уравнения, описывающего некоторый процесс, при изменении вероятностной меры, в которой этот процесс представляется. Теорема также определяет конкретный вид так называемого процесса плотности, связанного с производной Радона — Никодима — производной одной меры по другой. При замене вероятностной меры изменяется трендовая составляющая процессов, а «стохастическая» часть («волатильность») остается неизменной.

Результаты такого рода были впервые доказаны Кэмероном и Мартином в 1940-х годах и И. В. Гирсановым в 1960 году. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, кульминацией которых стала общая форма Э. Ланглара, полученная в 1977 году.

Базовая формулировка теоремы

Одномерный случай

Пусть $W_{t}$ — винеровский процесс в данной мере $\mathbb {P}$. Тогда процесс (в дифференциальной форме)

$dW_{t}^{*}=dW_{t}+\lambda _{t}dt$

является винеровским процессом в мере $\mathbb {P^{*}}$, эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности $z_{t}={\mathbb {E} }_{t}^{\mathbb {P} }\left({d\mathbb {P^{*}} \over d\mathbb {P} }\right)$ следующего вида (в дифференциальной форме):

$dz_{t}=-z_{t}{\lambda }_{t}dW_{t}$

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента или экспонента Долеан-Дейд):

$z_{t}=e^{-1/2{\int }_{0}^{t}{\lambda }_{s}^{2}ds-\int _{0}^{t}{\lambda }_{s}dW_{s}}={\mathcal {E}}(-\int _{0}^{t}{\lambda }_{s}dW_{s})$

Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова:

$\mathbb {E} \left(e^{1/2{\int }_{0}^{t}{\lambda }_{s}^{2}ds}\right)<\infty$

Многомерный случай

Пусть ${\boldsymbol {W}}_{t}$ — вектор независимых винеровских процессов в данной мере $\mathbb {P}$. Тогда процесс (в дифференциальной форме)

$d{\boldsymbol {W}}_{t}^{*}=d{\boldsymbol {W}}_{t}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}dt$

является винеровским процессом в мере $\mathbb {P^{*}}$, эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности $z_{t}={\mathbb {E} }_{t}^{\mathbb {P} }\left({d\mathbb {P^{*}} \over d\mathbb {P} }\right)$ следующего вида (в дифференциальной форме):

$dz_{t}=-z_{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{t}$

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента):

$z_{t}=e^{-1/2{\int }_{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}ds-\int _{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{s}}={\mathcal {E}}(-\int _{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{s})$

Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова:

$\mathbb {E} \left(e^{1/2{\int }_{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}ds}\right)<\infty$

Следствие для стохастических процессов общего вида

Пусть в данной мере задан стохастический процесс $X_{t}$ следующего вида (в дифференциальной форме):

$dX_{t}=\mu (X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}$

где $\mu$ — некоторая функция, определяющая трендовую (дрифт) составляющую процесса. Тогда при замене вероятностной меры данный процесс можно записать с помощью другой функции для трендовой составляющей $\mu ^{*}(x)$ следующим образом:

$dX_{t}=\mu ^{*}(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}^{*}$

где процесс $W_{t}^{*}$, является винеровским процессом в новой мере и определяется как указано в исходной формулировке теоремы Гирсанова: $dW_{t}^{*}=dW_{t}+\lambda _{t}dt$, где

$\lambda _{t}={\mu ^{*}(X_{t})-\mu (X_{t}) \over \sigma (X_{t})}$

Процесс плотности для соответствующих мер определяется аналогично исходной формулировке теоремы с учетом данного обозначения.

Если исходно начинать с некоторого процесса $\lambda _{t}$, то по существу преобразование исходного стохастического дифференциального представления процесса $X_{t}$ имеет вид:

$dX_{t}=\mu (X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}=(\mu (X_{t})-\sigma (X_{t})\lambda _{t})dt+\sigma (X_{t})(dW_{t}+\lambda _{t}dt)$

Для того, чтобы данная запись была стандартной дифференциальной записью стохастического процесса необходимо чтобы процесс $W_{t}^{*}$, определенный в дифференциальной форме как $dW_{t}^{*}=dW_{t}+\lambda _{t}dt$ был винеровским процессом. Теорема Гирсанова утверждает, что такой процесс является винеровским в другой вероятностной мере (эквивалентной исходной), заданной процессом плотности вышеуказанного вида.

См. также

• Замена вероятностной меры
• Риск-нейтральная мера
• Форвардная мера
• Теорема Кэмерона — Мартина