Теорема Гуревича

Теорема Гуревича — фундаментальный результат алгебраической топологии, связывающей гомотопическую теорию с теорией гомологии с помощью отображения, известного как гомоморфизм Гуревича.

Теорема названа в честь Витольда Гуревича; она обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре.

Формулировка

Пусть $X$ — линейно связное топологическое пространство и $n$ — целое положительное число. Гомоморфизм Гуревича:

$h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)$

определяется следующим образом: если $u_{n}$ — образующая $H_{n}(S^{n})$, то гомотопический класс отображения $f\in \pi _{n}(X)$ отображается в $f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)$.

При $n=1$ этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм:

${\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)$

между абеленизацией фундаментальной группы и первой гомологической группой.

Если $n\geqslant 2$ и $X$ — $(n-1)$-связно, то гомоморфизм Гуревича $h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)$ является изоморфизмом. Более того, $h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ является эпиморфизмом.

Литература

• А. Хатчер. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 464—486. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.