Теорема Деррика

Теорема Деррика — это фундаментальная теорема, которая гласит, что солитонные решения нелинейных волновых уравнений или уравнения Клейн-Гордона в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

Формулировка

В работе 1964 г. Г. Деррик проанализировал устойчивость локализованных стационарных решений в различных вариантах теории поля. Он показал, что решения нелинейных волновых уравнений в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

Теорема Деррика формулируется следующим образом: Пусть $\phi _{a}$ скалярное поле и $L$ - плотность лагранжиана этого скалярного поля, а плотность энергии $\epsilon =\epsilon _{4}+\epsilon _{2}+\epsilon _{0}$ где:

$\epsilon _{0}=g(\Phi )$

$\epsilon _{2}=||\partial _{j}\Phi ||^{2}$

$\epsilon _{4}=f(\Phi )\partial _{j}\phi ^{a}\partial _{k}\phi ^{b}\partial _{l}\phi ^{c}\partial _{m}\phi ^{d}M_{abcd}^{jklm}(\Phi )$

Здесь $g$ и $M$ такие гладкие отображения $P\to C$, что соответствующие интегралы $E_{2},E_{4},E_{0}$ конечны и положительны. Тогда плотность Лагранжиана не имеет стационарных локализованных стабильных решений, если

$(2-D)E_{2}+(4-D)E_{4}-DE_{0}\neq 0$

Это приводит к уравнению, которое называется вириальной теоремой для солитонов

$\left({\frac {d}{d\lambda }}E_{\lambda }\right){\Bigl |}_{\lambda =1}=(2-D)E_{2}+(4-D)E_{4}-DE_{0}=0$