Теорема Какутани о неподвижной точке

Теорема Какутани о неподвижной точке — обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке на многозначные функции.

Формулировка править

Пусть  непустое компактное выпуклое подмножество евклидова пространства. Пусть  многозначная функция на  , такая, что множество   непусто и выпукло для всех  , и имеет замкнутый график, то есть множество

 

замкнуто в топологии прямого произведения  . Тогда   имеет неподвижную точку, то есть существует точка   такая, что  .

 
График многозначной функции без неподвижных точек.

Замечание править

Из следующего примера видно, что требование выпуклости множеств   существенно.

Зафиксируем достаточно маленькое положительное число   и рассмотрим функцию

 

определенную на отрезке  . Заметим, что множество   не выпукло и эта функция не имеет неподвижной точки, хотя удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы.

О доказательствах править

  • Теорему Какутани можно вывести из леммы Шпернера аналогично теореме Брауэра.

История править

Теорема доказана Сидзуо Какутани в 1941 году,[1] чтобы доказать теорему о минимаксе в антагонистической игре.

Она была использована Джоном Нэшем при доказательстве существования равновесия Нэша в знаменитой двухстраничной статье[2], которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.

Примечания править

  1. Kakutani, Shizuo. A generalization of Brouwer’s fixed point theorem (неопр.) // Duke Mathematical Journal[англ.]. — 1941. — Т. 8, № 3. — С. 457—459. — doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
  2. Nash, J.F., Jr. Equilibrium Points in N-Person Games (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1950. — Vol. 36, no. 1. — P. 48—49. — doi:10.1073/pnas.36.1.48. — PMID 16588946. — PMC 1063129.

Ссылки править