Теорема Кёнига (механика)

Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.

Формулировка

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

${T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,$

где $T$ — полная кинетическая энергия системы, $T_{0}$ — кинетическая энергия движения центра масс, $T_{r}$ — относительная кинетическая энергия системы.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.

Более точная формулировка:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Вывод

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему $S$,  распределены непрерывно.

Найдём относительную кинетическую энергию $T_{r}$ системы $S$,  трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть ${\vec {\rho }}$ — радиус-вектор рассматриваемой точки системы $S$  в подвижной системе координат. Тогда:

$T_{r}\;=\;{\frac {1}{2}}\int {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\;,$

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если ${\vec {r}}_{0}$ — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а ${\vec {r}}$ — радиус-вектор рассматриваемой точки системы $S$  в исходной системе координат, то верно соотношение:

${\vec {r}}\;=\;{\vec {r}}_{0}+{\vec {\rho }}\;.$

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

$T\;=\;{\frac {1}{2}}\int {\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\;=\;{\frac {1}{2}}\int \left({\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{o}}{{\rm {d}}t}}+{\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\right)\cdot \left({\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{o}}{{\rm {d}}t}}+{\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\right)\,{\rm {d}}m\;.$

Учитывая, что радиус-вектор ${\vec {r}}_{0}$ одинаков для всех ${\rm {d}}m$, можно, раскрыв скобки, вынести ${\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}$ за знак интеграла:

$T\;=\;{\frac {1}{2}}{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}\int \,{\rm {d}}m\,\,+\,\,{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}\cdot \int {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\,\,+\,\,{\frac {1}{2}}\int {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\;.$

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём равен импульсу системы относительно центра масс, который равен нулю.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно $T_{r}$, то есть относительной кинетической энергии системы $S$.

См. также

• Иоганн Самуэль Кёниг
• Теорема о движении центра масс системы
• Кинетическая энергия
• Закон сохранения энергии

Литература

• Гернет М. М.  Курс теоретической механики. 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1987. — 344 с.
• Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3.