Теорема Лежандра

Не следует путать с теоремой Лежандра о трёх квадратах.

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений, установленное Лежандром в 1785 году.

Формулировка

Уравнение

$aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,$

у которого не все коэффициенты одного знака и $a,b,c$ — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах $(X,Y,Z)$ тогда и только тогда, когда:

• $-ab$ — квадратичный вычет по модулю $c$,
• $-bc$ — квадратичный вычет по модулю $a$,
• $-ca$ — квадратичный вычет по модулю $b$.

О доказательстве

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в $\mathbb {Q}$ тогда и только тогда, когда она представляет нуль в $\mathbb {R}$ и во всех полях $p$-адических чисел $\mathbb {Q} _{p}$. Для разрешимости в $\mathbb {R}$ нужны разные знаки, для разрешимости в $\mathbb {Q} _{p}$ для $p\mid abc$ — вышеприведённые симметричные соотношения.

Литература

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985. — С. 77-80. — 504 с.