Теорема Люрота

Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной $k(x)$, содержащие поле констант $k$, другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь Якоба Люрота, который доказал её в 1876 году.

Формулировки

Теорема. Пусть $k$ — поле, а $k(x)$ — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое подрасширение расширения $k(x)/k$ имеет вид $k(f)$ для некоторой рациональной функции $f$. Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.

В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть $k$ — поле. Пусть $f:\mathbb {P} _{k}^{1}\to C$ — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую $C$ над $k$. Тогда $C$ изоморфна проективной прямой.

Замечания:

• Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть $k$ — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и $L$ — подрасширение $k(x,y)/k$. Тогда $L$ совпадает с $k$ или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над $k$. Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и Сиоды.
• Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над $\mathbb {C}$.
• Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.