Теорема Миди

Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби $a/p$ (где $p$ — простое число) длина записи периода дроби состоит из $2n$ цифр, то есть:

{\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}},

то

a_{i}+a_{i+n}=9

a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.

Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9.

Например,

{\frac {1}{17}}=0,{\overline {0588235294117647}},

и

05882352+94117647=99999999.

Расширенная теорема Миди править

Пусть $h$ — число цифр в периоде десятичной записи дроби $a/p$ (где $p$ — простое число). Если $k$ — любой делитель числа $h$ , теорему Миди можно обобщить. Расширенная теорема Миди^[1] постулирует, что если период десятичной записи дроби $a/p$ разделить на числа с $k$ цифр, то их сумма делится на 10^k − 1.

Например,

{\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}

имеет период из 18 цифр. Разделив его на шестизначные числа, получаем:

052631+578947+368421=999999.

Аналогично, разделив на трехзначные числа:

052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.

Теорема Миди в системах с другим основанием править

Теорема Миди не зависит от основания системы счисления. Для системы счисления, отличной от десятичной, в ней надо заменить 10 на основание системы — k, а 9 на k-1. Так, например, в восьмеричной системе счисления: