Теорема Нэша — Мозера

Теорема Нэша — Мозера — одно из обобщений теоремы об обратной функции. Вариант этой теоремы был использован Джоном Форбсом Нэшем при доказательстве теоремы о регулярном вложении. Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Юрген Мозер показал, что метод Нэша применим для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории Колмогорова — Арнольда — Мозера. На сегодняшний день существует несколько версий формулировки, принадлежащие Громову, Гамильтону, Хермандеру, Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту.

Одно из доказательств теоремы основано на использовании модифицированного варианта процесса Ньютона нахождения решения уравнения. Другие подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве.

Идея доказательства

Этот раздел предназначен только для описания идеи и поэтому намеренно неточен.

Предположим, что $P$ — дифференциальный оператор первого порядка определённый на гладких функциях между векторными пространствами, так что он определяет отображение $P\colon C^{k+1}\to C^{k}$ для каждого $k$. Предположим, что при некоторой функции $f_{0}\in C^{k+1}$ линеаризация $D_{f}P\colon C^{k+1}\to C^{k}$ имеет правый обратный оператор $S_{f}\colon C^{k}\to C^{k}$ для любой функции $f$, достаточно близкой к $f_{0}$.

Заметим, что композиция $S_{f}\circ D_{f}P$ и теряет одну производную то есть отображает $C^{k+1}$ в $C^{k}$. Из этого можно увидеть, что попытки использовать метод Ньютона для нахождения решения $P(f)=g_{\infty }$ терпят провал. То есть если $(f_{n})$ — последовательность функций определяемая итеративно

$f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},$

то из $f_{0}=f\in C^{k+1}$ следует, что $g_{\infty }-P(f_{0})\in C^{k}$, и тогда $f_{1}\in C^{k}$. По тем же соображениям, $f_{2}\in C^{k-1}$, $f_{3}\in C^{k-2}$, и так далее. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, так как она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.

Для решения этой задачи, Нэш использует сглаживающий оператор $\theta _{n}$ который для данной функции $f$, возвращает гладкую функцию $\theta _{n}(f_{n})$ близкую к исходной, если $n$ велико. Затем определяется «сглаженная» итерация Ньютона

$f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}.$

Этот модифицированный процесс не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности.

При правильно выбранных сглаживающих операторах, эта последовательность действительно сходится к решению $f_{\infty }$; то есть $P(f_{\infty })=g_{\infty }$.

Литература

• М. Л. Громов. Сглаживание и обращение дифференциальных операторов (рус.) // Матем. сб.. — 1972. — Т. 88(130), № 3(7). — С. 382–441.

• Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. — М.: Мир, 1990. — 536 с. — ISBN 5-03-001297-4, 3-540-12177-3.

• Дж. Нэш. Проблема вложений для римановых многообразий // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 173—216.

• Hamilton, Richard S. (1982), "The inverse function theorem of Nash and Moser" (PDF-12MB), Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 7 (1): 65—222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2, MR 0656198

• Hörmander, Lars (1976), "The boundary problems of physical geodesy", Arch. Rational Mech. Anal., 62 (1): 1–52, MR 0602181
  • Hörmander, L. (1977), "Correction to: "The boundary problems of physical geodesy"", Arch. Rational Mech. Anal., 65 (44): 395, MR 0602188

• Moser, Jürgen (1966a), "A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. I", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 20: 265—315, MR 0199523

• Moser, Jürgen (1966b), "A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. II", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 20: 499—535, MR 0206461

• Nash, John (1956), "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1): 20—63, doi:10.2307/1969989, JSTOR 1969989, MR 0075639.

• Saint-Raymond, Xavier (1989), "A simple Nash-Moser implicit function theorem", Enseign. Math. (2), 35 (3–4): 217–226, MR 1039945

• Schwartz, J. (1960), "On Nash's implicit functional theorem", Comm. Pure Appl. Math., 13: 509–530, MR 0114144

• Sergeraert, Francis (1972), "Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications", Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 5: 599–660, MR 0418140

• Zehnder, E., "Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. I", Comm. Pure Appl. Math., 28: 91–140, MR 0380867

• Zehnder, E., "Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II", Comm. Pure Appl. Math., 29 (1): 49–111, MR 0426055