Теорема Пикара (интегральные уравнения)

Теорема Пикара (интегральные уравнения) - теорема существования и единственности решения для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с замкнутым симметричным ядром $K(t,s)$ вида $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$, где $f(t)\in L_{2}[a,b]$ имеет единственное решение в классе функций $L_{2}[a,b]$ тогда и только тогда, когда ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{2}f_{k}^{2}$ сходится.

Пояснения

В формулировке теоремы $\lambda _{k}$ - характеристические числа ядра $K(t,s)$, $f_{k}=(f,\phi _{k})$ - коэффициенты Фурье функции $f(t)$ относительно собственных функций $\phi _{n}(t)$ этого ядра: $\phi _{n}(t)=\lambda _{n}\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{n}(s)ds$. Симметричное ядро $K(t,s)$ называется замкнутым в $L_{2}[a,b]$, если каждая функция $\sigma (t)\in L_{2}[a,b]$, удовлетворяющая равенству $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ равна нулю почти всюду на отрезке $[a,b]$. Для замкнутого ядра его собственные функции образуют ортогональную полную в $L_{2}[a,b]$ систему функций.

Доказательство

Предположим, что существует решение $\phi (t)\in L_{2}[a,b]$ уравнения $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$.

Найдем коэффициенты Фурье функции $f(t)$ относительно собственных функций $\phi _{n}(t)$ этого ядра: $f_{n}=\int \limits _{a}^{b}f(t)\phi _{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{b}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{b}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{n}(t)dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds$.

Здесь во втором равенстве использовано, что в силу условия теоремы $f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$, в четвёртом равенстве, что, в силу симметричности ядра $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{n}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{n}(s)$.

Равенство $f_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds$ может быть переписано в виде $\lambda _{n}f_{n}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds$. Отсюда следует, что числа $\lambda _{n}f_{n}$ являются коэффициентами Фурье функции $\phi (t)\in L_{2}[a,b]$. В силу известной теоремы математического анализа, ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{2}f_{k}^{2}$ из квадратов этих коэффициентов является сходящимся.

Предположим, наоборот, что ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{2}f_{k}^{2}$ сходится. Тогда в силу теоремы Рисса-Фишера существует единственная функция $\phi (t)\in L_{2}[a,b]$, для которой числа $\lambda _{n}f_{n}$ являются коэффициентами Фурье по системе функций ${\mathcal {f}}\phi _{n}(t){\mathcal {g}}$, то есть выполняются равенства $\lambda _{n}f_{n}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds$ для всех $n(n=1,2,...)$. Эта функция $\phi (t)$ удовлетворяет интегральному уравнению $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$, так как в силу самого построения $\phi (t)$ функции $f(t)$ и $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной системы ${\mathcal {f}}\phi _{n}(t){\mathcal {g}}$ собственных функций ядра $K(t,s)$. Таким образом, функции $f(t)$ и $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ тождественны в метрике $L_{2}[a,b]$.

Литература

• Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.