Теорема Пуанкаре о разложении интегралов по малому параметру
Теорема Пуанкаре о разложении интегралов по малому параметру — утверждение о свойствах периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих малый параметр. Доказана Пуанкаре в 1888 г. для применения в задачах небесной механики[1][2] Основывается на двух предположениях: о том, что система, получающаяся из исходной при значении малого параметра, равного нулю, имеет периодические решения с некоторым периодом; и о том, что периодические решения системы получаются путем подбора начальных данных всех входящих в систему неизвестных функций[3]. Применяется в механике, электро- и радиотехнике, автоматике и физике, теории нелинейных колебаний.
Формулировка править
Разность между решением возмущенной системы уравнений и решением невозмущенной системы дифференциальных уравнений первого порядка может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда от малого параметра, представляющего возмущение.
Доказательство править
Доказательство теоремы Пуанкаре занимает 7 страниц в книге [4].
См. также править
Примечания править
- ↑ Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // т. 1, Наука, 1972
- ↑ Poincare H., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, т. 1, стр. 58
- ↑ Проскуряков, 1977, с. 7.
- ↑ Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 1941, с. 140-146.
Литература править
- Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.
- Гуляев В. И., Баженов В. А., Попов С. Л.,. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. — М.: Высшая школа, 1989. — 383 с. — ISBN 5-06-000091-5.
- Проскуряков А. П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1977. — 256 с.
- Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956.
- Новожилов И. В. Фракционный анализ. — М.: МГУ, 1995. — 224 с. — ISBN 5-87597-013-8.