Теорема Титце о продолжении

Теорема Титце о продолжении (или Теорема Титце — Урысона) даёт достаточные условия на функцию, заданную на подмножестве пространства и допускающую непрерывное продолжение на всё пространство.

Формулировка

Пусть $X$ — нормальное пространство и

$f\colon A\to \mathbb {R}$

непрерывная вещественнозначная функция, заданная на замкнутом подмножестве $A\subset X$. Тогда существует непрерывная функция

$F\colon X\to \mathbb {R}$,

такая, что $F(a)=f(a)$ для всех $a\in A$.

Более того, если $f$ ограничена, то функция $F$ может быть выбрана также ограниченной той же константой.

История

• Лёйтзен Брауэр и Анри Лебег доказали частный случай теоремы, для конечномерных вещественных векторных пространств.
• Генрих Титце обобщил теорему на случай всех метрических пространств.
• Павел Урысон доказал теорему, как указано здесь, для нормальных топологических пространств.

Вариации и обобщения

• Эта теорема эквивалентна лемме Урысона.

• Если $X$ — метрическое пространство, тогда липшицева функция, определённая на произвольном подмножестве $X$, продолжается до липшицевой функции на всё пространство, с той же константой Липшица.

См. также

• Теорема Киршбрауна о продолжении