Теорема Чеботарёва об устойчивости функции

Для термина «Теорема Чеботарёва» см. также другие значения.

Теорема Чеботарёва об устойчивости функции — обобщение теоремы Эрмита — Билера на случай целых функций. Названа по имени советского математика Николая Чеботарёва.

Формулировка

Целая функция $f$ тогда и только тогда сильно устойчива, когда соответствующие функции $g$ и $h$ составляют вещественную пару и хотя бы в одной точке вещественной оси функция $gh'-g'h$ положительна.

Пояснения

Здесь целой функцией считается функция $f(z)$ комплексного переменного $z$, разлагающаяся в степенной ряд: $f(z)=a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{n}z^{n}+\ldots$, сходящийся при всех значениях $z$. Целая функция является устойчивой, если у неё нет корней с положительной вещественной частью. Функции $g$ и $h$ определяются следующим образом. Подставив в $f(z)$ вместо $z$ чисто мнимое число $i\omega$ получаем комплексное число $f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )$. Целые функции $g$ и $h$ составляют вещественную пару, если для любых вещественных $\lambda$ и $\mu$ все корни функции $\lambda g+\mu h$ вещественны. Если функции $g$ и $h$ составляют вещественную пару, то корни этих функций перемежаются. Корни многочленов $g$ и $h$ с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

Литература

• Постников М. М. Устойчивые многочлены — М.: Наука, 1981. — С. 129.