Теорема о вписанных окружностях

Теорема о вписанных окружностях берёт начало в японских сангаку и относится к следующему построению: серия лучей проводится из некой точки на заданную прямую так, что окружности, вписанные в получающиеся треугольники, образованные смежными лучами и прямой, одинаковы. На иллюстрации одинаковые синие окружности определяют угол между лучами, как описано выше.

Если синие окружности равны, то зелёные окружности также равны.

Формулировка теоремы

Теорема утверждает, что при описанном выше построении окружности, вписанные в треугольники, образованными лучами через один (то есть полученные объединением двух соседних треугольников), через два и т. д., также равны. Случай соседних треугольников показан на рисунке зелёными окружностями: все они имеют одинаковые размеры.

Из факта, что утверждение теоремы не зависит от угла между начальным лучом и заданной прямой, можно сделать вывод, что теорема скорее относится к математическому анализу, а не геометрии, и должна иметь отношение к непрерывной масштабной функции, которая определяет расстояние между лучами. Фактически этой функцией является гиперболический синус.

Лемма

Теорема является прямым следствием следующей леммы.

Предположим, что n-й луч имеет угол $\gamma _{n}$ к нормали для базовой прямой. Если $\gamma _{n}$ параметризовано согласно равенству $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n}$, то значения $\theta _{n}=a+nb$, где $a$ и $b$ являются вещественными константами, определяют последовательность лучей, которые удовлетворяют условиям вписанных окружностей (см. выше), и более того, любая последовательность лучей, удовлетворяющих этим условиям, может быть получена надлежащим выбором параметров $a$ и $b$.

Доказательство леммы

На рисунке прямые PS и PT являются смежными лучами, имеющими углы $\gamma _{n}$ и $\gamma _{n+1}$ с прямой PR, перпендикулярной базовой прямой RT.

Проведём прямую QY, параллельную базовой прямой, через центр O вписанной в треугольник $\triangle$ PST окружности. Эта окружность касается лучей в точках W и Z. Отрезок PQ имеет длину $h-r$, а отрезок QR имеет длину $r$, что равно радиусу вписанной окружности.

Тогда $\triangle$ OWX подобен $\triangle$ PQX, $\triangle$ OZY подобен $\triangle$ PQY, а из XY = XO + OY мы получаем

$(h-r)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).$

Это отношение на множестве углов $\{\gamma _{m}\}$ выражает условие равенства вписанных окружностей.

Для доказательства леммы положим $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$. Это выражение можно преобразовать в $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$.

Используя равенство $a+(n+1)b=(a+nb)+b$, мы применяем дополнительные правила для $\mathrm {sh} \,$ и $\mathrm {ch} \,$ и проверяем, что отношение равенства окружностей удовлетворяется выражением

${\frac {r}{h-r}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.$

Мы получили выражение для параметра $b$ в терминах геометрических величин $h$ и $r$. Далее, определяя $b$, мы получаем выражение для радиусов $r_{N}$ вписанных окружностей, образованных выбором каждого N-го луча в качестве сторон треугольника:

${\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.$

См. также

• Японская теорема о вписанном многоугольнике
• Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

Литература

• Tabov J. A note on the five-circle theorem // Mathematics Magazine. — 1989. — Т. 63. — № 2. — С. 92—94.