Теорема о симплектическом верблюде

Теорема о симплектическом верблюде — одна из основных теорем в симплектической геометрии. Теорема гласит, что шар возможно вложить в цилиндр сохраняя естественную симплектическую форму, только если радиус шара не превосходит радиуса цилиндра.

История

Доказана в 1985 году Михаилом Громовым. Ян Стюарт назвал эту теорему теоремой о симплектическом верблюде, ссылаясь на библейскую притчу «удобнее верблюду пройти сквозь игольные уши, нежели богатому войти в Царствие Божие».

До появления этой теоремы было очень мало известно о геометрии симплектических преобразований. Одно простое свойство симплектоморфизма заключается в том, что он сохраняет объем. Легко видеть, что шар любого радиуса допускает вложение в цилиндр любого радиуса с сохранением объёма. Таким образом, теорема о верблюде говорит, что класс симплектических преобразований существенно меньше класса диффеоморфизмов, сохраняющих объём.

Формулировка

В пространстве

$\mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\}$

с симплектической формой

$\omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\ldots +dx_{n}\wedge dy_{n}$

рассмотрим шар радиуса R

$B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid \|z\|<R\}$

и цилиндр радиуса r

$Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}\}.$

Теорема о симплектическом верблюде говорит, что если мы можем найти симплектическое вложение

$\phi \colon B(R)\to Z(r),$

то $R\leqslant r$.

Дополнительная литература

• Maurice A. de Gosson: The symplectic egg, arXiv:1208.5969v1, submitted on 29 August 2012 — includes a proof of a variant of the theorem for case of linear canonical transformations
• Dusa McDuff: What is symplectic geometry? Архивная копия от 10 января 2014 на Wayback Machine, 2009