Теорема о сумме углов многоугольника

Теорема о сумме углов многоугольника выражает сумму углов евклидова многоугольника через число его сторон.

Формулировка

Сумма внутренних углов плоского $n$-угольника равна $180^{\circ }{\cdot }(n-2)$.

Замечания

• Теорема следует из существования триангуляции многоугольника без дополнительных вершин и теоремы о сумме углов треугольника.
  • Существование триангуляции очень просто доказывается для выпуклых многоугольников, в случае невыпуклых многоугольников оно не вполне очевидно.

• Утверждение теоремы эквивалентно тому, что сумма ориентированных внешних углов многоугольника равна ±360°.

Вариации и обобщения

• Задача о триангуляции многоугольника.
• Теорема о сумме углов треугольника — важный частный случай теоремы.
• Теорема о повороте кривой — дифференциальногеометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника.
• Формула Гаусса — Бонне — аналогичный результат для искривлённых поверхностей.

Литература

• § 82 в А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arXiv:1806.06942 [math.HO].