Тест Шура

В функциональном анализе тест Шура (названный в честь математика Исая Шура) применяется для интегральных операторов с ядром, действующим $L^{2}\to L^{2}$.

Такой тест позволяет дать оценку норме интегрального оператора, что позволяет делать вывод о его непрерывности.

Определение

Пусть $S,\,T$ это два измеримых множества (например $\mathbb {R} ^{n}$), пусть $U$ это интегральный оператор:

$(Uf)(s)=\int _{T}K(s,t)f(t)\,dt$ с ядром $K(s,t):S\times T\to \mathbb {R} (\mathbb {C} )$.

Если найдутся функции $\phi :S\to \mathbb {R} >0$ и $\psi :T\to \mathbb {R} >0$ и числа $A,B>0$ такие что:

$(1)\qquad \int _{S}|K(s,t)|\phi (s)\,ds\leq A\psi (t)$

для почти всех $t\in T$ и

$(2)\qquad \int _{T}|K(s,t)|\psi (t)\,dt\leq B\phi (s)$

для почти всех $s\in S$,

Тогда $U$ непрерывный оператор действующий $U:L^{2}\to L^{2}$ с нормой: $\Vert U\Vert _{L^{2}\to L^{2}}\leq {\sqrt {AB}}.$

(Функции $\phi$, $\psi$ называют функциями теста Шура)

Доказательство

$|(Uf)(s)|={\biggl |}\int _{T}K(s,t)\cdot f(t)dt{\biggr |}\leq \int _{T}{\sqrt {|K(s,t)|\cdot \psi (t)}}\cdot {\sqrt {|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}}}\cdot dt\leq$
по неравенству Шварца:
$\leq {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot \psi (t)\cdot dt}}\cdot {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}\cdot dt}}$
возведем в квадрат и проинтегрируем по $S$:
$\int _{S}|(Uf)(s)|^{2}\cdot ds\leq B\int _{S}\phi (s)\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)}}\cdot dtds=$
далее по теореме Фубини:
$=B\int _{T}{\frac {|f(t)|^{2}}{\psi (t)}}\int _{S}|K(s,t)|\cdot \phi (s)\cdot dsdt\leq AB\int _{T}|f(t)|^{2}\cdot dt$
следовательно извлекая корень:
$||U(f)||_{2}\leq {\sqrt {AB}}\cdot ||f||_{2}$

См. также

• Непрерывный оператор
• Шур, Исай