Точка Штейнера

Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

Точка Штейнера
Названо в честь	Якоб Штейнер
Медиафайлы на Викискладе

История

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году.

Определение

Прямая, проходящая через $A$, параллельна $B'C'$, прямая, проходящая через $B$, параллельна $C'A'$, и прямая, проходящая через $C$, параллельна $A'B'$ пересекаются в точке Штейнера.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.)

Пусть дан любой треугольник $ABC$. Пусть $O$ — его центр описанной окружности и $K$ — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на $OK$ как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через $O$ перпендикулярно к прямой $BC$, пересекает окружность Брокара в другой точке $A'$. Прямая, проходящая через $O$ перпендикулярно к прямой $CA$, пересекает окружность Брокара в другой точке $B'$. Прямая, проходящая через $O$ перпендикулярно к прямой $AB$, пересекает окружность Брокара в другой точке $C'$ (треугольник $A'B'C'$ есть треугольник Брокара для треугольника $ABC$). Пусть $L_{A}$ есть прямая, проходящая через $A$ параллельно прямой $B'C'$, $L_{B}$ есть прямая, проходящая через $B$ параллельно прямой $C'A'$, и $L_{C}$ есть прямая, проходящая через $C$ параллельно прямой $A'B'$. Тогда все три прямых $L_{A}$, $L_{B}$ и $L_{C}$ пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника $ABC$.

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

$\left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operatorname {cosec} (B-C):c^{2}a^{2}\operatorname {cosec} (C-A):a^{2}b^{2}\operatorname {cosec} (A-B))$.

Свойства

• Описанный вокруг треугольника $ABC$ эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины $A$, $B$ и $C$. Точка Штейнера треугольника $ABC$ лежит на описанном вокруг треугольника $ABC$ эллипсе Штейнера.
• Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.
• Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника $ABC$ массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника $ABC$ и имеет трилинейные координаты:

$\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)$.

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника.

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника $ABC$ параллельна прямой $OK$, где $O$ — центр описанной окружности и $K$ — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника $ABC$.

Точка Тарри

Прямая, проходящая через $A$ перпендикулярно к $B'C'$, прямая, проходящая через $B$ перпендикулярно к $C'A'$, и прямая, проходящая через $C$ перпендикулярно к $A'B'$, пересекаются в точке Тарри (Tarry)

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть $ABC$ — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника $ABC$, диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника $ABC$. Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри равны

$(\operatorname {sec} (A+\omega ):\operatorname {sec} (B+\omega ):\operatorname {sec} (C+\omega ))$,

где $\omega$ является углом Брокара треугольника $ABC$.

См. также

• Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности выпуклого тела.