Удлинённая пятиугольная пирамида

Удлинённая пятиуго́льная пирами́да — один из многогранников Джонсона (J₉, по Залгаллеру — М₃+П₅).

Удлинённая пятиугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	11 граней 20 рёбер 11 вершин Χ = 2
Грани	5 треугольников 5 квадратов 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(42.5) 5(32.42) 1(35)
Двойственный многогранник	Удлинённая пятиугольная пирамида
Развёртка
Классификация
Обозначения	J9, М3+П5
Группа симметрии	C5v

Составлена из 11 граней: 5 правильных треугольников, 5 квадратов и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной, двумя квадратными и треугольной; каждая треугольная грань окружена квадратной и двумя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между двумя квадратными, 5 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 5 — между двумя треугольными.

У удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная и две квадратных грани; в 5 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся пять треугольных граней.

Удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу основаниями.

Метрические характеристики

Если удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S={\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 8{,}8855409a^{2},$

$V={\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\approx 2{,}0219802a^{3}.$

В координатах

Удлинённую пятиугольную пирамиду с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $\left(\pm 1;\;-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),$
• $\left(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}};\;{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}};\;\pm 1\right),$
• $\left(0;\;{\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),$
• $\left(0;\;0;\;1+{\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{5}}}\;\right).$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из пяти плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Удлинённая пятиугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.