Особая точка кривой

Особая точка кривой — точка, в окрестности которой не существует гладкой параметризации. Точное определение зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраическую кривую на плоскости можно определить как множество точек $\left(x,y\right)$, удовлетворяющих уравнению вида $f\left(x,y\right)=0$, где $f\left(x,y\right)$ — полиномиальная функция $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$:

$f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots$.

Если начало координат $\left(0,0\right)$ принадлежит кривой, то $a=0$. Если $b_{2}\not =0$, то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции $g$, такой что кривая принимает вид $y=g\left(x\right)$ в окрестности начала координат. Аналогично, если $b_{1}\not =0$, то существует такая функция $h$, что кривая удовлетворяет уравнению $x=h\left(y\right)$ в окрестности начала координат. В обоих случаях существует гладкое отображение $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, которое определяет кривую в окрестности начала координат. Заметим, что в окрестности начала координат

$b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\partial f \over \partial y}.$

Особые точки кривой — это те точки кривой, в которых обе производные обращаются в ноль:

$f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.$

Регулярные точки

Пусть кривая проходит через начало координат. Положив $y=mx$, можно представить $f$ в виде

$f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\dots$.

Если $b_{1}+b_{2}m\not =0$, то уравнение $f=0$ имеет решение кратности 1 в точке $x=0$ и начало координат является точкой одиночного контакта кривой с прямой $y=mx$. Если $b_{1}+b_{2}m=0$, то $f=0$ имеет в точке $x=0$ решение кратности 2 или выше и прямая $y=mx$ является касательной к кривой. В этом случае, если $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$, кривая имеет двойной контакт с прямой $y=mx$. Если $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$, а коэффициент при $x^{3}$ не равен нулю, то начало координат является точкой перегиба кривой. Это рассуждение может быть применено к любой точке кривой путём переноса начала координат в заданную точку.

Двойные точки

Основная статья: Двойная точка

Три улитки Паскаля иллюстрируют типы двойных точек. Левая кривая имеет изолированную точку в начале координат. Центральная кривая, кардиоида, имеет касп в начале координат. Правая кривая имеет в начале координат точку самопересечения, образуя петлю.

Если в вышеприведённом уравнении $b_{1}=0$ и $b_{2}=0$, но по крайней мере одна из величин $c_{1}$, $c_{2}$ или $c_{3}$ не равна нулю, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положим $y=mx$, тогда $f$ примет вид

$f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\dots .$

Двойные точки можно классифицировать по корням уравнения $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$.

Точки самопересечения

Если уравнение $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ имеет два вещественных решения по $m$, то есть, если $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$, то начало координат называется точкой самопересечения. Кривая в этом случае имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$. Функция $f$ в этом случае имеет седловую точку в начале координат.

Изолированные точки

Если уравнение $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ не имеет вещественных решений по $m$, то есть, если $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$, то начало координат называется изолированной точкой. На вещественной плоскости начало координат окажется изолировано от кривой, однако на комплексной плоскости начало координат изолировано не будет и будет иметь две мнимых касательных, соответствующих двум мнимым решениям уравнения $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$. Функция $f$ в этом случае имеет локальный экстремум в начале координат.

Каспы

Если уравнение $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ имеет одно вещественное решение по $m$ кратности 2, то есть, если $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$, то начало координат называется каспом, или точкой возврата. Кривая в этом случае в особой точке меняет направление, образуя остриё. Кривая в начале координат имеет единственную касательную, что можно трактовать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая классификация

Термин узел (англ. node) используется как общее название для изолированных точек и точек самопересечения. Число узлов и число каспов кривой являются двумя инвариантами, используемыми в формулах Плюккера.

Если одно из решений уравнения $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ является также решением уравнения $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$, то соответствующая ветвь кривой имеет перегиб в начале координат. В этом случае начало координат называется точкой самокасания. Если обе ветви имеют это свойство, то $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}$ является делителем $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}$, и начало координат называется биффлектоидальной точкой (точкой двойного соприкосновения).

Многократные точки

Кривая с тройной точкой в начале координат.

В общем случае при равенстве нулю всех членов со степенью, меньшей $k$, и при условии, что хотя бы один член со степенью $k$ не равен нулю, говорят, что кривая имеет многократную точку порядка k. В этом случае кривая имеет $k$ касательных в начале координат, но некоторые из них могут быть мнимыми или совпадать.

Параметрические кривые

Параметрическая кривая в R² определяется как образ функции g: R → R², g(t) = (g₁(t), g₂(t)). Особые точки такой кривой — это точки, в которых

${dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.$

Касп

Многие кривые можно задать в обоих видах, но эти два задания не всегда согласуются. Например, касп можно найти как у алгебраической кривой x³−y² = 0, так и параметрической кривой g(t) = (t², t³). Оба задания кривой дают особую точку в начале координат. Однако точка самопересечения кривой y²−x³−x² = 0 в начале координат является особой для алгебраической кривой, но при параметрическом задании g(t) = (t²−1,t(t²−1)) пара производных g′(t) никогда не обращается в ноль, а потому точка не является особой в вышеуказанном смысле.

Следует соблюдать осторожность при выборе параметризации. Например, прямую y = 0 можно задать параметрически как g(t) = (t³, 0) и она будет иметь особую точку в начале координат. Если же её же параметризовать как g(t) = (t, 0), она не будет иметь особых точек. Таким образом, технически более корректно говорить об особых точках гладкого отображения, а не об особых точках кривой.

Вышеуказанные определения можно распространить на неявные кривые, которые можно определить как множество нулей f⁻¹(0) произвольной гладкой функции. Определения также можно распространить на кривые в пространствах более высоких размерностей.

Согласно теореме Хасслера Уитни, любое замкнутое множество в Rⁿ является множеством решений f⁻¹(0) для некоторой гладкой функции f: Rⁿ → R. Следовательно, любая параметрическая кривая может быть задана как неявная кривая.

Типы особых точек

Примеры особых точек различных типов:

• Изолированная точка: x²+y² = 0,
• Пересечение двух прямых: x²−y² = 0,
• Касп (точка возврата): x³−y² = 0,
• Клювообразный касп: x⁵−y² = 0.

См. также

• Теория особенностей
• Теория Морса

Литература

• Harold Hilton. Plane Algebraic Curves. — Oxford, 1920.