Ули́тка Паска́ля (англ. limacon of Pascal , от лат. limax — улитка ) ― конхоида окружности с полюсом на этой окружности[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] .
Семь форм улиток Паскаля как конхоиды чёрной окружности с полюсом (0, 0):
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
.
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.}
Из них красная — с параболической точкой распрямления , зелёная — кардиоида , синяя — трисектриса
Страница книги Дюрера 1525 года с линией паука (Spinnenlinie)
Обычно представляется следующим уравнением конхоиды окружности в полярной системе координат [2] [3] [5] [6] [8] :
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
где
a
{\displaystyle a}
— радиус базовой окружности конхоиды;
l
{\displaystyle l}
— приращение радиус-вектора окружности, проведённого из полюса конхоиды на окружности.
Относится к плоским алгебраически кривым 4-го порядка[1] [3] [9] .
Улитка Паскаля — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами[10] :
Названа по имени французского учёного Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля ), рассмотревшего её в первой половине XVII века[1] [2] [4] [9] [8] [11] . Улитка Паскаля изучалась Альбрехтом Дюрером в 1525 году под названием арахна (линия паука) (англ. Arachne ; нем. Spinnenlinie [12] ; фр. arachnée [11] ), Этьеном Паскалем в 1630 году и Жилем Робервалем , который и назвал кривую «улиткой Паскаля» в 1650 году[7] [13] [11] .
Определения улитки Паскаля
править
Самые распространённые определение и уравнение
править
Ули́тка Паска́ля (англ. limacon of Pascal; Pascal’s snail[8] ; snail curve[11] ) ― конхоида окружности с полюсом на этой окружности[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] , обычно задаваемая следующим уравнением в полярной системе координат [2] [3] [5] [6] [8] :
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
где
a
{\displaystyle a}
— радиус базовой окружности
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
{\displaystyle \,r(\varphi )=2a\cos \varphi \,}
конхоиды;
l
{\displaystyle l}
— приращение радиус-вектора окружности, проведённого из полюса конхоиды.
Базовая окружность
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
{\displaystyle \,r(\varphi )=2a\cos \varphi \,}
улитки Паскаля называется также её директрисой [14] , а приращение радиус-вектора
l
{\displaystyle l}
— её модулем [15] .
Улитка Паскаля — это кривая, обладающая следующими основными свойствами[10] :
Обычное уравнение улитки Паскаля в полярой системе координат
r
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r=2a\cos \varphi +l,}
может быть записано по-другому:
r
=
d
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r=d\cos \varphi +l,}
где
d
{\displaystyle d}
— диаметр базовой окружности конхоиды;
в размерно-безразмерной форме[7] :
r
=
l
(
e
cos
φ
+
1
)
,
{\displaystyle r=l(e\cos \varphi +1),}
где
l
e
=
2
a
{\displaystyle le=2a}
— диаметр базовой окружности конхоиды;
e
=
2
a
l
{\displaystyle e={\frac {2a}{l}}}
— безразмерный параметр;
в безразмерной форме[16] :
ρ
=
2
cos
φ
+
ϵ
,
{\displaystyle \rho =2\cos \varphi +\epsilon ,}
где
ρ
=
r
a
,
{\displaystyle \rho ={\frac {r}{a}},\,}
ϵ
=
l
a
{\displaystyle \epsilon ={\frac {l}{a}}}
— безразмерные параметры.
Все уравнения, рассмотренные выше, имеют горизонтальную ось симметрии (совпадающую с оью абсцисс) и как полюс коноиды, так и особые точки, расположенные слева. Но особые точки можно расположить на графике и справа, записав уравнение улитки Паскаля в следующей форме:
r
=
−
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r=-2a\cos \varphi +l,}
У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью абсцисс. У следующих уравнений ось симметрии улитки Паскаля совпадает с осью ординат[11] :
полюс коноиды и особые точки расположены вверху:
r
=
−
2
a
sin
φ
+
l
;
{\displaystyle r=-2a\sin \varphi +l;}
полюс коноиды и особые точки расположены внизу:
r
=
2
a
sin
φ
+
l
.
{\displaystyle r=2a\sin \varphi +l.}
Вывод уравнения и геометрическое построение
править
Геометрическое построение красной точки улитки Паскаля (трисектрисы,
l
=
a
{\displaystyle l=a}
)
Детализируем определение улитки Паскаля, расшифровав понятие конхоиды :
ули́тка Паска́ля — геометрическое место концов радиус-векторов , проведённых из фиксированной точки на окружности радиуса
a
{\displaystyle a}
ко всем точкам окружности, причём эти радиус-векторы увеличены (одна ветвь ) или уменьшены (другая ветвь) на постоянную величину
l
{\displaystyle l}
[17] .
Получим уравнение улитки Паскаля в полярной системе координат . Для этого (см. рисунок справа)[18] :
поместим полюс конхоиды, расположенный на базовой окружности, в начало полярной системы координат ;
расположим диаметр базовой окружности на полярной оси справа от начала координат;
положим, что
l
<
2
a
{\displaystyle l<2a}
(на рисунке справа
l
=
a
{\displaystyle l=a}
),
тогда получаем, что (см. рисунок справа):
радиус-вектор из определения равен
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
;
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi ;}
увеличенный на
l
{\displaystyle l}
радиус-вектор из определения равен
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
и последнее уравнение есть уравнение одной ветви улитки Паскаля.
Очевидно, что уравнение другой ветви улитки Паскаля будет
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
−
l
.
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l.}
Поскольку
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
=
2
a
cos
(
π
+
φ
)
−
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l=2a\cos(\pi +\varphi )-l,}
то ветви улитки Паскаля как конхоиды окружности совпадают, что показано на рисунках ниже, и в качестве уравнения улитки Паскаля можно взять уравнение одной из ветвей, обычно берут первое:
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
.
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.}
Для первой ветви при повороте радиус-вектора от
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
до
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
конец увеличенного радиус-вектора описывает верхнюю половину большой дуги улитки Паскаля и нижнюю половину петли, если она есть. При дальнейшем повороте радиус-вектора получаются остальные части первой ветви улитки Паскаля. Даже если радиус-вектор первой ветви отрицательный, то его увеличение откладывается от его конца всё равно в положительном направлении. Картина аналогична для второй ветви, когда уменьшение радиус-вектора всегда откладывается в отрицательном направлении[3] . На рисунках ниже показаны три серии построения:
обеих ветвей улитки Паскаля, имеющей петлю (трисектрисы), отдельно в четырёх квадрантах плоскости ;
улитки Паскаля, имеющей петлю (трисектрисы), для случая, когда её радиус-вектор всегда неотрицателен, то есть при
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
⩾
0
;
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l\geqslant 0;}
Если улитка Паскаля не имеет петли, то её первая ветвь всегда имеет неотрицательный радиус-вектор, а вторая ветвь — неположительный.
Конхоидное преобразование улитки Паскаля (не окружности)
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l}
с полюсом этой же улитки и с модулем
l
′
{\displaystyle l'}
есть снова улитка Паскаля
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
±
l
′
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l\pm l'}
,
но в этом случае ветви всегда будут разные, причём если
l
′
=
l
{\displaystyle l'=l}
, то вторая ветвь будет окружностью.
Первая ветвь улитки Паскаля (трисектрисы) для квадрантов плоскости
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
0
∘
⩽
φ
⩽
90
∘
{\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 90^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
90
∘
⩽
φ
⩽
180
∘
{\displaystyle 90^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
180
∘
⩽
φ
⩽
270
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 270^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
270
∘
⩽
φ
⩽
360
∘
{\displaystyle 270^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
Вторая ветвь улитки Паскаля (трисектрисы) для квадрантов плоскости
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
−
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,}
0
∘
⩽
φ
⩽
90
∘
{\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 90^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
−
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,}
90
∘
⩽
φ
⩽
180
∘
{\displaystyle 90^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
−
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,}
180
∘
⩽
φ
⩽
270
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 270^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
−
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,}
270
∘
⩽
φ
⩽
360
∘
{\displaystyle 270^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
Обе ветви улитки Паскаля (трисектрисы) для квадрантов плоскости при неотрицательном радиус-векторе
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
r
(
φ
)
⩾
0
,
{\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,}
0
∘
⩽
φ
⩽
180
∘
{\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
r
(
φ
)
⩾
0
,
{\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,}
180
∘
⩽
φ
⩽
360
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
−
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,}
r
(
φ
)
⩾
0
,
{\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,}
0
∘
⩽
φ
⩽
180
∘
{\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ }}
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
−
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi -l,}
r
(
φ
)
⩾
0
,
{\displaystyle r(\varphi )\geqslant 0,}
180
∘
⩽
φ
⩽
360
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}
Уравнение в других координатных системах
править
Для перевода уравнения кривой из полярной системы координат
(
r
,
φ
)
{\displaystyle (r,\,\varphi )}
в декартовую
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\,y)}
(и обратно) используют соотношения
x
=
r
cos
φ
,
{\displaystyle x=r\cos \varphi ,\,}
y
=
r
sin
φ
,
{\displaystyle y=r\sin \varphi ,\,}
x
2
+
y
2
=
r
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},}
поэтому декартовое уравнение улитки Паскаля будет следующим[1] [2] [3] [19] [5] [7] :
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
x
2
+
y
2
=
2
a
x
+
l
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=2ax+l{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
(
x
2
+
y
2
−
2
a
x
)
2
=
l
2
(
x
2
+
y
2
)
.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=l^{2}(x^{2}+y^{2}).}
Используя те же формулы
x
=
r
cos
φ
,
{\displaystyle x=r\cos \varphi ,\,}
y
=
r
sin
φ
,
{\displaystyle y=r\sin \varphi ,}
параметрические декартовые уравнения улитки Паскаля можно также получить из полярного уравнения[20] [5] :
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
x
=
2
a
cos
2
t
+
l
cos
t
=
a
cos
2
t
+
l
cos
t
+
a
,
{\displaystyle x=2a\cos ^{2}t+l\cos t=a\cos 2t+l\cos t+a,}
y
=
2
a
cos
t
sin
t
+
l
sin
t
=
a
sin
2
t
+
l
sin
t
.
{\displaystyle y=2a\cos t\sin t+l\sin t=a\sin 2t+l\sin t.}
Декартовы параметрические уравнения улитки Паскаля могут быть и следующие[5] :
x
=
(
1
−
t
2
)
(
l
+
2
a
+
(
l
−
2
a
)
t
2
)
(
1
+
t
2
)
2
,
{\displaystyle x={\frac {(1-t^{2})(l+2a+(l-2a)t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}},}
y
=
2
t
(
l
+
2
a
+
(
l
−
2
a
)
t
2
)
(
1
+
t
2
)
2
.
{\displaystyle y={\frac {2t(l+2a+(l-2a)t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}.}
Комплексное параметрическое уравнение улитки Паскаля так же получается из полярного уравнения с использованием соотношений
z
(
φ
)
=
r
(
φ
)
e
i
φ
,
cos
φ
=
1
2
(
e
i
φ
+
e
−
i
φ
)
{\displaystyle z(\varphi )=r(\varphi )e^{i\varphi },\,\cos \varphi ={\frac {1}{2}}(e^{i\varphi }+e^{-i\varphi })}
и имеет следующий вид[7] [21] :
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,}
r
e
i
t
=
(
2
a
cos
φ
+
l
)
e
i
t
,
{\displaystyle re^{it}=(2a\cos \varphi +l)e^{it},}
z
=
a
(
1
+
e
2
i
t
)
+
l
e
i
t
.
{\displaystyle z=a(1+e^{2it})+le^{it}.}
В случае
ℓ
=
a
{\displaystyle \ell =a}
улитка Паскаля также называется трисектри́са . Такое название она получила из-за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки . Уравнение трисектрисы:
z
=
b
(
e
i
t
+
e
2
i
t
)
=
b
e
3
i
t
2
(
e
i
t
2
+
e
−
i
t
2
)
=
2
b
e
3
i
t
2
cos
t
2
,
{\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{\frac {3it}{2}}\left(e^{\frac {it}{2}}+e^{\frac {-it}{2}}\right)=2be^{\frac {3it}{2}}\cos {\frac {t}{2}},}
в полярных координатах:
r
=
2
b
cos
θ
3
.
{\displaystyle r=2b\cos {\frac {\theta }{3}}.}
Виды улиток Паскаля
править
Примечательные точки улитки Паскаля
править
Существуют три вида улиток Паскаля: гиперболические, параболические (кардиоиды) и эллиптические[7] . Будем использовать уравнение улитки Паскаля
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
.
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.}
Гиперболические улитки Паскаля
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,\,}
l
<
2
a
{\displaystyle l<2a}
с примечательными точками и касателными в точках самопересечения
Две касательные прямые всех улиток Паскаля в особой точке — полюсе конхоиды, он же начало координат
r
=
0
,
{\displaystyle r=0,}
— имеют следующее уравнение[22] :
4
a
2
cos
2
φ
−
l
2
=
0
,
{\displaystyle 4a^{2}\cos ^{2}\varphi -l^{2}=0,}
поэтому (см. рисунки справа):
если
l
<
2
a
,
{\displaystyle l<2a,}
то касательные действительные, и особая точка — точка самопересечения параболической улитки Паскаля;
если
l
=
2
a
,
{\displaystyle l=2a,}
то касательные совпадают с осью абсцисс, и особая точка — касп кардиоиды;
если
l
>
2
a
,
{\displaystyle l>2a,}
то касательные мнимые, и особая точка — изолированная эллиптической улитки Паскаля.
Вершины всех видов улиток Паскаля, если они есть, удовлетворяют следующему уравнению, полученному приравниванием нулю производной
κ
′
(
φ
)
=
12
a
2
l
sin
φ
(
l
cos
φ
+
2
a
)
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
5
{\displaystyle \kappa '(\varphi )={\frac {12a^{2}l\sin \varphi (l\cos \varphi +2a)}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}}
кривизны [23]
κ
(
φ
)
=
6
a
l
cos
φ
+
8
a
2
+
l
2
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
3
,
{\displaystyle \kappa (\varphi )={\frac {6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2}}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}},}
то есть это необходимое условие быть вершиной (но не достаточное)[16] :
sin
φ
(
l
cos
φ
+
2
a
)
=
0.
{\displaystyle \sin \varphi (l\cos \varphi +2a)=0.}
Вывод уравнения кривизны и её производной
Перейдём от уравнения в полярных координатах
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
.
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l.}
к параметрическому уравнению, взяв в качестве уравнений проекции улитки Паскаля на декартовы координаты[23] :
x
=
(
2
a
cos
φ
+
l
)
cos
φ
,
{\displaystyle x=(2a\cos \varphi +l)\cos \varphi ,}
y
=
(
2
a
cos
φ
+
l
)
sin
φ
.
{\displaystyle y=(2a\cos \varphi +l)\sin \varphi .}
Вычислим производные этих уравнений[23] :
x
′
=
−
(
4
a
cos
φ
+
l
)
sin
φ
,
{\displaystyle x'=-(4a\cos \varphi +l)\sin \varphi ,}
y
′
=
4
a
cos
2
φ
+
l
cos
φ
−
2
a
,
{\displaystyle y'=4a\cos ^{2}\varphi +l\cos \varphi -2a,}
x
″
=
−
8
a
cos
2
φ
+
l
cos
φ
−
4
a
,
{\displaystyle x''=-8a\cos ^{2}\varphi +l\cos \varphi -4a,}
y
″
=
−
(
8
a
cos
φ
+
l
)
sin
φ
{\displaystyle y''=-(8a\cos \varphi +l)\sin \varphi }
и получим уравнение кривизны
κ
(
φ
)
=
x
′
y
″
−
x
″
y
′
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
,
{\displaystyle \kappa (\varphi )={\frac {x'y''-x''y'}{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}},}
x
′
y
″
−
x
″
y
′
=
32
a
2
cos
2
φ
+
12
a
l
cos
φ
+
l
2
−
{\displaystyle x'y''-x''y'=32a^{2}\cos ^{2}\varphi +12al\cos \varphi +l^{2}-{}}
−
32
a
2
cos
4
φ
−
12
a
l
cos
3
φ
−
l
2
cos
2
φ
+
{\displaystyle {}-32a^{2}\cos ^{4}\varphi -12al\cos ^{3}\varphi -l^{2}\cos ^{2}\varphi +{}}
+
32
a
2
cos
4
φ
+
8
a
l
cos
3
φ
−
16
a
2
cos
2
φ
+
{\displaystyle {}+32a^{2}\cos ^{4}\varphi +8al\cos ^{3}\varphi -16a^{2}\cos ^{2}\varphi +{}}
+
4
a
l
cos
3
φ
+
l
2
cos
2
φ
−
2
a
l
cos
φ
−
{\displaystyle {}+4al\cos ^{3}\varphi +l^{2}\cos ^{2}\varphi -2al\cos \varphi -{}}
−
16
a
2
cos
2
φ
−
4
a
l
cos
φ
+
8
a
2
=
{\displaystyle {}-16a^{2}\cos ^{2}\varphi -4al\cos \varphi +8a^{2}=}
=
6
a
l
cos
φ
+
l
2
+
8
a
2
,
{\displaystyle =6al\cos \varphi +l^{2}+8a^{2},}
x
′
2
+
y
′
2
=
16
a
2
cos
2
φ
+
8
a
l
cos
φ
+
l
2
−
{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}=16a^{2}\cos ^{2}\varphi +8al\cos \varphi +l^{2}-{}}
−
16
a
2
cos
4
φ
−
8
a
l
cos
3
φ
−
l
2
cos
2
φ
+
{\displaystyle {}-16a^{2}\cos ^{4}\varphi -8al\cos ^{3}\varphi -l^{2}\cos ^{2}\varphi +{}}
+
16
a
2
cos
4
φ
+
8
a
l
cos
3
φ
+
l
2
cos
2
φ
−
{\displaystyle {}+16a^{2}\cos ^{4}\varphi +8al\cos ^{3}\varphi +l^{2}\cos ^{2}\varphi -{}}
−
16
a
2
cos
2
φ
−
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
=
{\displaystyle {}-16a^{2}\cos ^{2}\varphi -4al\cos \varphi +4a^{2}=}
=
4
a
l
cos
φ
+
l
2
+
4
a
2
,
{\displaystyle =4al\cos \varphi +l^{2}+4a^{2},}
κ
(
φ
)
=
6
a
l
cos
φ
+
8
a
2
+
l
2
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
3
.
{\displaystyle \kappa (\varphi )={\frac {6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2}}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}}.}
Осталось найти производную кривизны
κ
′
(
φ
)
=
(
6
a
l
cos
φ
+
8
a
2
+
l
2
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
3
)
′
=
{\displaystyle \kappa '(\varphi )=\left({\frac {6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2}}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}}\right)'=}
=
−
6
a
l
sin
φ
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
3
+
{\displaystyle ={\frac {-6al\sin \varphi }{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{3}}}+{}}
+
3
(
6
a
l
cos
φ
+
8
a
2
+
l
2
)
(
4
a
l
sin
φ
)
2
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
5
=
{\displaystyle {}+{\frac {3(6al\cos \varphi +8a^{2}+l^{2})(4al\sin \varphi )}{2({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}=}
=
−
48
a
2
l
2
cos
φ
sin
φ
−
48
a
3
l
sin
φ
−
12
a
l
3
sin
φ
2
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
5
+
{\displaystyle ={\frac {-48a^{2}l^{2}\cos \varphi \sin \varphi -48a^{3}l\sin \varphi -12al^{3}\sin \varphi }{2({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}+{}}
+
72
a
2
l
2
cos
φ
sin
φ
+
96
a
3
l
sin
φ
+
12
a
l
3
sin
φ
2
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
5
=
{\displaystyle {}+{\frac {72a^{2}l^{2}\cos \varphi \sin \varphi +96a^{3}l\sin \varphi +12al^{3}\sin \varphi }{2({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}=}
=
12
a
2
l
2
cos
φ
sin
φ
+
24
a
3
l
sin
φ
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
5
=
{\displaystyle ={\frac {12a^{2}l^{2}\cos \varphi \sin \varphi +24a^{3}l\sin \varphi }{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}=}
=
12
a
2
l
sin
φ
(
l
cos
φ
+
2
a
)
(
4
a
l
cos
φ
+
4
a
2
+
l
2
)
5
.
{\displaystyle ={\frac {12a^{2}l\sin \varphi (l\cos \varphi +2a)}{({\sqrt {4al\cos \varphi +4a^{2}+l^{2}}})^{5}}}.}
Эллиптические улитки Паскаля
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,\,}
l
>
2
a
{\displaystyle l>2a}
с примечательными точками
Последнее уравнение есть совокупность уравнений
[
sin
φ
=
0
,
l
cos
φ
+
2
a
=
0
,
{\displaystyle \left[{\begin{array}{rcl}\sin \varphi =0,\\l\cos \varphi +2a=0,\end{array}}\right.}
откуда вершины, если они есть, имеют координаты (см. рисунки справа)
[
sin
φ
=
0
,
r
=
l
±
2
a
,
cos
φ
=
−
2
a
l
,
r
=
l
−
4
a
2
l
{\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\sin \varphi =0,\quad r=l\pm 2a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {2a}{l}},\quad r=l-{\frac {4a^{2}}{l}}\end{array}}\right.}
и лежат на прямой и циссоиде Диокла (см. рисунок справа)
[
sin
φ
=
0
,
r
=
2
a
(
cos
φ
−
1
cos
φ
)
=
−
2
a
sin
2
φ
cos
φ
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\sin \varphi =0,\\\displaystyle r=2a\left(\cos \varphi -{\frac {1}{\cos \varphi }}\right)=-{\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.\end{array}}\right.}
Грушевидная квартика, составленная из точек перегиба эллиптических улиток Паскаля
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
+
l
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi +l,\,}
l
>
2
a
{\displaystyle l>2a}
Точки перегиба эллиптических улиток Паскаля, если они есть, удовлетворяют следующему уравнению, полученному приравниванием нулю кривизны, то есть это необходимое условие быть точкой перегиба (но не достаточное)[16] :
6
a
l
cos
φ
+
l
2
+
8
a
2
=
0
,
{\displaystyle 6al\cos \varphi +l^{2}+8a^{2}=0,}
откуда точки перегиба, если они есть, имеют координаты (см. рисунки справа)
cos
φ
=
−
l
2
+
8
a
2
6
a
l
,
{\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {l^{2}+8a^{2}}{6al}},}
r
=
l
−
l
2
+
8
a
2
3
l
=
2
l
2
−
8
a
2
3
l
.
{\displaystyle r=l-{\frac {l^{2}+8a^{2}}{3l}}={\frac {2l^{2}-8a^{2}}{3l}}.}
и лежат на обобщённой грушевидной квартике [24] (см. рисунок справа)
r
2
+
2
a
r
cos
φ
−
8
a
2
cos
2
φ
+
8
a
2
=
0
,
{\displaystyle r^{2}+2ar\cos \varphi -8a^{2}\cos ^{2}\varphi +8a^{2}=0,}
или
r
2
+
2
a
r
cos
φ
+
8
a
2
sin
2
φ
=
0
,
{\displaystyle r^{2}+2ar\cos \varphi +8a^{2}\sin ^{2}\varphi =0,}
или
(
r
+
a
cos
φ
)
2
+
a
2
(
8
sin
2
φ
−
cos
2
φ
)
=
0.
{\displaystyle (r+a\cos \varphi )^{2}+a^{2}(8\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi )=0.}
Гиперболическая улитка Паскаля
править
Трисектриса
r
(
φ
)
=
a
(
2
cos
φ
+
1
)
,
{\displaystyle r(\varphi )=a(2\cos \varphi +1),\,}
a
=
2
{\displaystyle a=2}
с точкой самопересечения и двумя вершинами
Гиперболическая улитка (англ. hyperbolic limacon ) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему неравенству[7] :
l
<
2
a
.
{\displaystyle l<2a.}
Синоним:
улитка с петлёй (англ. limacon with a loop; crunodal limacon )[7] .
Частные случаи[7] :
улитка Паскаля вырождается в окружность радиуса
a
{\displaystyle a}
при
l
=
0
,
{\displaystyle l=0,}
то есть уравнение окружности
r
(
φ
)
=
2
a
cos
φ
;
{\displaystyle r(\varphi )=2a\cos \varphi ;}
улитка Паскаля есть трисектриса (англ. trisectrix ; англ. limaçon trisectrix [11] ) при
l
=
a
,
{\displaystyle l=a,}
то есть её уравнение
r
(
φ
)
=
a
(
2
cos
φ
+
1
)
.
{\displaystyle r(\varphi )=a(2\cos \varphi +1).}
Перечислим примечательные точки трисектрисы как типичного представителя улитки с петлёй (см. рисунок справа)[25] :
трисектриса имеет точку самопересечения в начале координат
r
=
0
;
{\displaystyle r=0;}
радиальные координаты кандидатов в точки перегиба
cos
φ
=
−
3
2
<
−
1
,
{\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {3}{2}}<-1,\,}
r
=
2
l
2
−
8
a
2
3
l
=
−
2
a
,
{\displaystyle r={\frac {2l^{2}-8a^{2}}{3l}}=-2a,}
поэтому точек перегиба нет;
из вершин попадают на кардиоиду и не попадают на точку самопересечения только две точки
φ
=
0
,
r
=
3
a
{\displaystyle \varphi =0,\,r=3a}
и
φ
=
π
,
r
=
−
a
.
{\displaystyle \varphi =\pi ,\,r=-a.}
Параболическая улитка Паскаля
править
Кардиоида
r
(
φ
)
=
2
a
(
cos
φ
+
1
)
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a(\cos \varphi +1),\,}
a
=
2
{\displaystyle a=2}
с каспом и вершиной
Параболическая улитка (англ. parabolic limacon ) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему равенству[7] :
l
=
2
a
,
{\displaystyle l=2a,}
то есть её уравнение
r
(
φ
)
=
2
a
(
cos
φ
+
1
)
.
{\displaystyle r(\varphi )=2a(\cos \varphi +1).}
Синонимы:
Перечислим примечательные точки кардиоиды (см. рисунок справа)[25] :
кардиоида имеет касп в начале координат
r
=
0
;
{\displaystyle r=0;}
радиальная координата кандидата в точки перегиба
r
=
2
l
2
−
8
a
2
3
l
=
0
,
{\displaystyle r={\frac {2l^{2}-8a^{2}}{3l}}=0,}
поэтому точек перегиба нет, точка
r
=
0
{\displaystyle r=0}
— это касп;
из вершин попадает на кардиоиду и не попадает на касп только точка
φ
=
0
,
r
=
4
a
.
{\displaystyle \varphi =0,\quad r=4a.}
Эллиптическая улитка Паскаля
править
Эллиптическая улитка (англ. elliptic limacon ) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему неравенству[7] :
l
>
2
a
.
{\displaystyle l>2a.}
Синонимы:
Частные случаи[7] :
улитка в форме фасолины (англ. limacon with the shape of a bean ) при
2
a
<
l
<
4
a
;
{\displaystyle 2a<l<4a;}
l
=
4
a
;
{\displaystyle l=4a;}
4
a
<
l
<
∞
;
{\displaystyle 4a<l<\infty ;}
улитка Паскаля вырождается в окружность бесконечного радиуса при
l
→
∞
.
{\displaystyle l\rightarrow \infty .}
Перечислим примечательные точки представителя улитки в форме фасолины с
l
=
4
a
{\displaystyle l=4a}
(см. рисунок ниже)[25] :
улитка в форме фасолины имеет изолированную точку в начале координат
r
=
0
;
{\displaystyle r=0;}
из точек перегиба присутствуют все две точки
cos
φ
=
−
17
18
,
{\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {17}{18}},\,}
r
=
10
9
a
;
{\displaystyle r={\frac {10}{9}}a;}
из вершин попадают на улитку в форме фасолины все четыре точки
[
φ
=
0
,
r
=
5
a
и
φ
=
π
,
r
=
a
,
cos
φ
=
−
2
3
,
r
=
5
3
a
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\varphi =0,\,r=5a\,\,{\mbox{и}}\,\,\varphi =\pi ,\,r=a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {2}{3}},\,r={\frac {5}{3}}a.\end{array}}\right.}
Перечислим примечательные точки представителя улитки с параболической точкой распрямления с
l
=
3
a
{\displaystyle l=3a}
(см. рисунок ниже)[25] :
улитка с параболической точкой распрямления имеет изолированную точку в начале координат
r
=
0
;
{\displaystyle r=0;}
две точки перегиба сливаются в одну параболическую точку распрямления (слияние и исчезновение точек перегиба и вершин типично для кривых, при слиянии «качество» точки меняется в более «сильную» сторону)
cos
φ
=
−
1
,
{\displaystyle \cos \varphi =-1,\,}
r
=
2
a
;
{\displaystyle r=2a;}
из вершин попадают на улитку с параболической точкой распрямления все четыре точки, но одна попадает на параболическую точку распрямления
[
φ
=
0
,
r
=
6
a
и
φ
=
π
,
r
=
2
a
,
cos
φ
=
−
1
2
,
r
=
3
a
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\varphi =0,\,r=6a\,\,{\mbox{и}}\,\,\varphi =\pi ,\,r=2a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {1}{2}},\,r=3a.\end{array}}\right.}
Перечислим примечательные точки представителя выпуклой улитки с
l
=
5
a
{\displaystyle l=5a}
(см. рисунок ниже)[25] :
выпуклая улитка имеет изолированную точку в начале координат
r
=
0
;
{\displaystyle r=0;}
радиальные координаты кандидатов в точки перегиба
cos
φ
=
−
11
10
<
−
1
,
{\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {11}{10}}<-1,\,}
r
=
42
15
a
,
{\displaystyle r={\frac {42}{15}}a,}
поэтому точек перегиба нет;
из вершин попадают на выпуклую улитку все четыре точки
[
φ
=
0
,
r
=
7
a
и
φ
=
π
,
r
=
3
a
,
cos
φ
=
−
2
5
,
r
=
21
5
a
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{lcl}\varphi =0,\,r=7a\,\,{\mbox{и}}\,\,\varphi =\pi ,\,r=3a,\\\displaystyle \cos \varphi =-{\frac {2}{5}},\,r={\frac {21}{5}}a.\end{array}}\right.}
Формы эллиптической улитки Паскаля
Улитка в форме фасолины
r
(
φ
)
=
a
(
2
cos
φ
+
3
)
,
{\displaystyle r(\varphi )=a(2\cos \varphi +3),\,}
a
=
2
{\displaystyle a=2}
с изолированной точкой, двумя точками перегиба и четырьмя вершинами
Улитка с параболической точкой распрямления
r
(
φ
)
=
2
a
(
cos
φ
+
2
)
,
{\displaystyle r(\varphi )=2a(\cos \varphi +2),\,}
a
=
2
{\displaystyle a=2}
с изолированной точкой, параболической точкой распрямления и тремя вершинами
Выпуклая улитка
r
(
φ
)
=
a
(
2
cos
φ
+
5
)
,
{\displaystyle r(\varphi )=a(2\cos \varphi +5),\,}
a
=
2
{\displaystyle a=2}
с изолированной точкой и четырьмя вершинами
Анимация подеры окружности
Построение улитки Паскаля
Улитка Паскаля является подерой окружности относительно любой точки, кроме центра окружности.
Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала .
Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды .
Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой .
Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода .
Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
S
=
π
a
2
2
+
π
ℓ
2
.
{\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}.}
При
a
>
ℓ
{\displaystyle a>\ell }
площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.
Применения в технике
править
Вычерчивание профиля эксцентрика[26] .
↑ 1 2 3 4 5 6 Соколов Д. Д. Паскаля улитка, 1984 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Линия , 1973 , Улитка Паскаля, с. 469.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Савелов А. А. Плоские кривые, 1960 , § 2. Улитка Паскаля, с. 106.
↑ 1 2 3 Улитка Паскаля , 1955 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997 , § 2. Атлас кривых. Улитка Паскаля, с. 213.
↑ 1 2 3 4 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972 , 5.1. Limacon of Pascal (Pascal, 1650), с. 113.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Ferréol Robert. Limaçon (or snail) of Pascal, 2017 .
↑ 1 2 3 4 Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006 , 2.9 Exercises, с. 58.
↑ 1 2 3 Паскаля улитка , 1988 .
↑ 1 2 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997 , § 2. Атлас кривых. Улитка Паскаля, с. 214.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 jan wassenaar limaçon, 2013 .
↑ Albrecht Dürer Underweysung der Messung, 1525 , с. 38.
↑ 1 2 Weisstein Eric W. Limaçon, 2024 .
↑ Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963 , XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154.
↑ Ferréol Robert. Conchoid, 2017 .
↑ 1 2 3 Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988 , 2. Кривые и функции на них. 2.15. Упражнения. 5, с. 35.
↑ Савелов А. А. Плоские кривые, 1960 , § 1. Конхоида Никомеда, с. 100; § 2. Улитка Паскаля, с. 106.
↑ Савелов А. А. Плоские кривые, 1960 , § 1. Конхоида Никомеда, с. 100—101.
↑ Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972 , 5.1. Limacon of Pascal (Pascal, 1650), с. 115.
↑ Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972 , 5.1. Limacon of Pascal (Pascal, 1650), с. 113, 117.
↑ Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963 , XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 153.
↑ Савелов А. А. Плоские кривые, 1960 , § 2. Улитка Паскаля, с. 106—107.
↑ 1 2 3 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972 , 5.1. Limacon of Pascal (Pascal, 1650), с. 117.
↑ Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997 , § 2. Атлас кривых. Грушевидная квартика, с. 84.
↑ 1 2 3 4 5 Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988 , 2. Кривые и функции на них. 2.15. Упражнения. 5, с. 35—36.
↑ Савелов А. А. Плоские кривые, 1960 , § 2. Улитка Паскаля, с. 108.
Брус Дж., Джиблин П. [en] Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда . М.: Мир, 1988. 262 с, ил. (Современная математика. Вводные курсы) ISBN 5-03-001194-3 . [J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.]
Линия // Большая советская энциклопедия . (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров . Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия », 1973. Т. 14. Куна — Ломами. 1973. 624 с. с илл., 32 л. илл., 6 л. карт. С. 466—470.
Паскаля улитка // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров ; Ред. Кол.: С. И. Адян , Н. С. Бахвалов , В. И. Битюцков, А. П. Ершов , Л. Д. Кудрявцев , А. Л. Онищик , А. П. Юшкевич . М.: «Советская энциклопедия », 1988. 847 с., ил. С. 452.
Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена . М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
Соколов Д. Д. Паскаля улитка // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 226—227.
Улитка Паскаля // Энциклопедический словарь / Гл. ред. Б. А. Введенский , т. 3 Пращур—Яя. М.: «Большая Советская энциклопедия », 1955. 744 с., ил. С. 472—473.
Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8 .
Albrecht Dürer Underweysung der Messung, 1525.
Ferréol Robert. Conchoid // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 6 марта 2023 на Wayback Machine
Ferréol Robert. Limaçon (or snail) of Pascal // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 12 января 2024 на Wayback Machine
Alfred Gray . Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica . Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.
Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
jan wassenaar limaçon // mathematical curves Архивная копия от 23 июля 2023 на Wayback Machine
Weisstein Eric W. Limaçon // Wolfram MathWorld Архивная копия от 6 ноября 2020 на Wayback Machine
Zwikker C. [en] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications [en] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.