Упорядоченное кольцо

Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо $R$ (обычно коммутативное), для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ и кольца целых кратных.

Упорядоченное кольцо целых чисел на числовой прямой

Определение

Пусть $R$ — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение $\leqslant$ (меньше или равно) со следующими свойствами.

1. Рефлексивность: $x\leqslant x$.
2. Транзитивность: если $x\leqslant y$ и $y\leqslant z$, то $x\leqslant z$.
3. Антисимметричность: если $x\leqslant y$ и $y\leqslant x$, то $x=y$.
4. Линейность: все элементы $F$ сравнимы между собой, то есть либо $x\leqslant y$, либо $y\leqslant x$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:

5. Если $x\leqslant y$, то для любого z: $x+z\leqslant y+z$.
6. Если $0\leqslant x$ и $0\leqslant y$, то $0\leqslant xy$.

Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо $R$ называется упорядоченным.

Примеры упорядоченных колец

• Кольцо целых чисел $\mathbb {Z} .$
• Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу $k$ (не обязательно целому).
• Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами.
• Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы).

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: $x\geqslant y$ означает, что $y\leqslant x$.

Отношение больше: $x>y$ означает, что $x\geqslant y$ и $x\neq y$.

Отношение меньше: $x<y$ означает, что $y>x$.

Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.

Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца $R$ часто обозначается через $R_{+}.$

Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.

Основные свойства

Для всех $x,y,z\in R$ имеют место следующие свойства.

• Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если $x$ положителен, то $-x$ отрицателен, и наоборот.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если $x\leqslant y$ и $x'\leqslant y'$, то $x+x'\leqslant y+y'$.

• Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:

Если $x\leqslant y$ и $z\geqslant 0$, то $zx\leqslant zy$.

• Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
• Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
  • Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен).
  • Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда $1>0$ (так как 1 есть квадрат самой себя).
• Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
• Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу $\mathbb {Z}$ целых чисел.

Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения

• Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить.
• Конечные поля.
• p-адические числа.

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элемента $x:$

$|x|=\max(x,-x)$

Здесь функция $\max$ осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех $x,y$ из кольца).

• $|x|=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$.
• Для всех ненулевых $x$ и только для них $|x|>0$.
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: $|x|=|{-x}|$
• Неравенство треугольника: $|x+y|\leqslant |x|+|y|$.
• Мультипликативность: $|xy|=|x||y|.$
• $|x|\leqslant y$ равносильно $-y\leqslant x\leqslant y$

Вариации и обобщения

Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:

• Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным, то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка.
• Вместо кольца имеется полукольцо, то есть в нём, вообще говоря, нет вычитания. Пример: натуральный ряд, расширенный нулём.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 271—272. — 299 с.
• Нечаев В. И. 6.4. Линейно упорядоченные кольца и тела // Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — С. 90—94. — 199 с.

Ссылки

• Ordered ring на сайте PlanetMath  (англ.).