Уравнение, приводящее к однородному

Уравнение, приводящее к однородному — дифференциальное уравнение первого порядка, которое заменой переменных, выраженное в явной форме, может быть преобразовано к однородному уравнению. Примером служит уравнение

${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}\right)\quad \triangle ={\begin{vmatrix}a&b\\\alpha &\beta \end{vmatrix}}\neq 0$,

которое заменой

$x=u+\psi ,\quad y=v+\nu ,\quad a\psi +b\nu +c=0,\quad \alpha \psi +\beta \nu +\gamma =0$,

приводится к однородному уравнению

${\frac {dv}{du}}=f\left({\frac {au+bv}{\alpha u+\beta v}}\right)$.

Интегрируя это уравнение и производя обратную замену переменных, получаем все решения исходного уравнения. При $\triangle =0$ исходное уравнение заменой $u=ax+by$ непосредственно сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

См. также

• Обобщённое дифференциальное уравнение