Уравнение Шрёдера

Названо в честь Эрнста Шрёдера. Это уравнение на собственные значения для оператора композиции

$\Phi (P(z))=p\Phi (z),\ \ \ \forall z$,

где $\Phi$ искомая неизвестная функция, $p$ фиксированное собственное число, a $P$ заданное 'ядро' оператора композиции. Уравнение применяется в нелинейной и хаотической динамике, в теории турбулентности, и в задачах, где возникают многократные функциональные композиции и самоподобные структуры.

Решение уравнения Шрёдера

В общем случае решение выписать аналитически не удастся, поскольку уравнение так же сложно как и родственное ему Уравнение Абеля. Вот некоторые частные случаи

$P(z)=4z(1-z),\ \ p=4\ \ \Longrightarrow \ \ \Phi (z)=(\arcsin {\sqrt {z}})^{2},$

$P(z)=2z(1-z),\ \ p=2\ \ \Longrightarrow \ \ \Phi (z)=\ln(1-2z),$

$P(z)={\frac {z}{2-z}},\ \ p={\frac {1}{2}}\ \ \Longrightarrow \ \ \Phi (z)={\frac {z}{1-z}}.$

По поводу данных примеров, и их практического значения, см..

Если функция $P(z)$ задана в виде ряда по степеням $z$, то зачастую возможно выписать ряд и для решения $\Phi (z)$.

Существуют некоторые общие результаты по поводу существования решения уравнения Шрёдера. Например, если $a$ неподвижная ($P(a)=a$) и притягивающая ($0<|P'(a)|<1$) точка для аналитического отображения $P(z)$, то уравнение Шрёдера имеет решение с собственным числом $p=P'(a)$.

Некоторые применения уравнения Шрёдера

Группа итераций.

С помощью $\Phi (z)$ можно обобщить функциональные композиции $P_{t}(z)=P\circ P\circ ...\circ P(z)$ (итерация $t$ раз) с дискретного параметра $t$ на непрерывный

$P_{t}(z):=\Phi ^{-1}(p^{t}\Phi (z)).$

Например, при $t=1/2$ мы получаем функциональный квадратный корень, который удовлетворяет уравнению $P_{\frac {1}{2}}(P_{\frac {1}{2}}(z))=P(z)$.

Отношения вероятностей редких событий.

Пусть

$P(z)=p_{1}z+p_{2}z^{2}+p_{3}z^{3}+...,\ \ \ p_{1}\neq 0$

производящая функция для ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона $X_{t+1}=\sum _{j=1}^{X_{t}}\xi _{j}^{(t)},\ X_{0}=1$, в котором хотя бы одна частица выживает ($p_{0}=0$). Соответственно, все $\xi _{j}^{(t)}$ независимы и одинаково распределены, с дискретной характеристической функцией $P(z)$. Тогда рост популяции будет экспоненциальный. Тем не менее, вероятность того, что на каждом шаге будет лишь одна частица, не нулевая $\mathbb {P} (X_{t}=1)=p_{1}^{t}\neq 0$. Можно даже определить отношения редких событий в пределе и их генерирующую функцию

$\varphi _{n}:=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\mathbb {P} (X_{t}=n)}{\mathbb {P} (X_{t}=1)}},\ \ \ \Phi (z):=\varphi _{1}z+\varphi _{2}z^{2}+\varphi _{3}z^{3}+....$

Тогда $\Phi (z)$ будет удовлетворять уравнению Шрёдера с начальными условиями

$\Phi (P(z))=p_{1}P(z),\ \ \ \Phi (0)=0,\ \ \ \Phi '(0)=1.$

Обобщённое (интегральное) уравнение Шрёдера.

Если в предыдущем примере предположить, что на каждом шаге ветвление происходит не с фиксированными вероятностями, определяемыми единственной характеристической функцией $P(z)$, а характеристические функции выбираются случайно среди $P_{r}(z)$, где $r$ принадлежит некоторому вероятностному пространству $(R,\mu )$, то тогда уравнение для генерирующей функции отношения редких событий примет вид

$\int _{R}\Phi (P_{r}(z))\mu (dr)=\Phi (z)\int _{R}p_{1r}\mu (dr),\ \ \ \Phi (0)=0,\ \ \ \Phi '(0)=1.$

В случае одноточечного вероятностного пространства, обобщённое интегральное уравнение обращается в классическое уравнение Шрёдера.