Устойчивое распределение

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение

Функция распределения $F(x)$ называется устойчивой, если для любых действительных чисел $a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2}$ найдутся числа $a>0,b$ такие, что имеет место равенство: $F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)$, где * - операция свёртки. Если $\phi (t)$ является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых $a_{1}>0,a_{2}>0$ найдутся числа $a>0,b$ такие, что $\phi ({\frac {t}{a_{1}}})\phi ({\frac {t}{a_{2}}})=\phi ({\frac {t}{a}}){e}^{-itb}$.

Замечания

• Если $F_{X}$ — функция устойчивого распределения, то $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n}>0,b_{n}\in \mathbb {R}$, такие что

$F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=\underbrace {F_{X}(x)*\cdots *F_{X}(x)} _{n},\quad \forall x\in \mathbb {R}$,

где $*$ обозначает свёртку.

• Если $\phi _{X}$ — характеристическая функция устойчивого распределения, то $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$, такие что

$\phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t}$.

Свойства устойчивых распределений

• Пусть $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины и $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n}}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$, где $\beta _{n}>0,\alpha _{n}$ — некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если $F_{n}(x)$ — функция распределения случайных величин $\eta _{n}$, то предельными распределениями для $F_{n}(x)$ при $n\to \infty$ могут быть лишь устойчивые распределения. Верно обратное: для любого устойчивого распределения $F(x)$ существует такая последовательность случайных величин $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n}}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$, что $F_{n}(x)$ сходится к $F(x)$ при $n\to \infty$.

• (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:

$\ln \phi (t)={\begin{cases}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}}G(t,\alpha )\right),&t\not =0,\\0,&t=0.\end{cases}}$

где $0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,$ и

$G(t,\alpha )={\begin{cases}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1,\\{\frac {2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1.\end{cases}}$

См. также

• Бесконечно делимое распределение.

Литература

• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.