Фиксированные эффекты с разложением вектора

Фиксированные эффекты с разложением вектора (англ. Fixed-effects vector decomposition, FEVD) — разновидность регрессионного анализа на панельных данных с фиксированными эффектами, позволяющая измерять эффекты не изменяющихся во времени предикторов вместе с фиксированными эффектами групп наблюдений (стандартные FE-оценки не позволяют оценивать не различающиеся во времени предикторы). Первоначально метод был предложен в статье (Plümper, Troeger, 2007).

Проблема не изменяющихся во времени переменных

Стандартные оценивающие функции моделей с фиксированными эффектами (с дамми на группы и внутригрупповым преобразованием) имеют несколько недостатков. Во-первых, они неспособны на получение оценок для не изменяющихся во времени переменных. Во-вторых, они приводят к неээфективным оценкам для переменных, обладающих слабой изменчивостью во времени. Классическим подходом для включения не изменяющихся во времени переменных считается использование модели Хаусмана-Тэйлора, однако для идентификации этой модели необходимо использование инструментальных (экзогенных) переменных как для вариабельных, так и для невариабельных предикторов. Как следствие, эффективность оценок напрямую связана с силой инструментов, что не всегда реализуемо на практике.

Получение оценок

В общем виде регрессионная модель, к которой применяется метод FEVD, выглядит следующим образом:

$y_{it}=\beta _{0}+\sum \limits _{k=1}^{K}\beta _{k}x_{kit}+\sum \limits _{m=1}^{M}\gamma _{m}z_{mi}+a_{i}+\varepsilon _{it},$

где $y_{it}$ — отклик, $x_{kit}$ — изменяющиеся во времени, а $z_{mi}$ — не изменяющиеся во времени предикторы (и соответствующие им регрессионные коэффициенты $\beta _{k}$ и $\gamma _{m}$), $a_{i}$ — индивидуальный эффект $i$-той группы, $\beta _{0}$ — общая константа модели, $\varepsilon _{it}$ — регрессионный остаток модели.

Предложенный в изначальной статье алгоритм оценивания моделей FEVD включает в себя три этапа:

1. Получение индивидуальных эффектов с помощью базовой модели с фиксированными эффектами. Исходная модель после внутригруппового преобразования выглядит так: $y_{it}-{\bar {y}}_{i}=\beta _{k}^{FE}\sum \limits _{k=1}^{K}(x_{kit}-{\bar {x}}_{ki})+\gamma _{m}\sum \limits _{m=1}^{M}(z_{mi}-z_{mi})+(a_{i}-a_{i})+(\varepsilon _{it}-{\bar {\varepsilon }}_{i})$. Вектор ${\hat {a}}_{i}$ оценок индивидуальных фиксированных эффектов рассчитывается как ${\hat {a}}_{i}={\bar {y}}_{i}-\sum \limits _{k=1}^{K}\beta _{k}^{FE}{\bar {x}}_{ki}-{\bar {\varepsilon }}_{i}$
2. Строится регрессионная модель полученных индивидуальных эффектов на не изменяющиеся или слабо изменяющиеся во времени регрессоры: ${\hat {a}}_{i}=\sum \limits _{m=1}^{M}\gamma _{m}z_{mi}+h_{i}$. Тем самым вектор индивидуальных эффектов разделяется на объяснённую (с коэффициентами $\gamma _{m}$) и необъяснённую (регрессионные ошибки $h_{i}$) компоненты.
3. Оценивается сквозная МНК-регрессия исходного отклика на все регрессоры (как сильно изменчивые, так и слабо изменчивые или неизменчивые во времени), а также необъяснённую компоненту вектора индивидуальных эффектов:

$y_{it}=\beta _{0}+\sum \limits _{k=1}^{K}\beta _{k}x_{kit}+\sum \limits _{m=1}^{M}\gamma _{m}z_{mi}+\delta h_{i}+\epsilon _{it}.$

Свойства оценок

Плюмпер и Трёгер утверждали, что оценки FEVD являются состоятельными, если невариабельные переменные не скоррелированы с ненаблюдаемыми индивидуальными эффектами ($cor(a_{i},~z_{mi})=0$), и являются смещёнными — в противном случае. С помощью экспериментов по методу Монте-Карло было установлено, что оценки FEVD более надёжны, нежели оценки обычных фиксированных эффектов, случайных эффектов, сквозной МНК-регрессии или метода Хаусмана-Тэйлора.

Литература

• Plümper T., Troeger V. Efficient estimation of time-invariant and rarely changing variables in finite sample panel analyses with unit fixed effects // Political Analysis. — 2007. — № 15. — P. 124-139.