Фильтр Бесселя

Фильтр Бесселя — в электронике и обработке сигналов один из наиболее распространённых типов линейных фильтров, отличительной особенностью которого является максимально гладкая групповая задержка (линейная фазо-частотная характеристика). Фильтры Бесселя чаще всего используют для аудио-кроссоверов. Их групповая задержка практически не изменяется по частотам полосы пропускания, вследствие чего форма фильтруемого сигнала на выходе такого фильтра в полосе пропускания сохраняется практически неизменной.

Передаточная функция

График амплитудно-частотной характеристики и групповой задержки для низкочастотного фильтра Бесселя четвёртого порядка. Спад амплитудно-частотной характеристики значительно менее крутой, чем у других линейных фильтров, однако групповая задержка практически не меняется по частотам полосы пропускания.

Передаточная функция фильтра Бесселя низких частот определяется следующим выражением:

$H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}$

где $\theta _{n}(s)$ — обратный многочлен Бесселя, из-за чего фильтр и получил своё название; $\omega _{0}$ — частота среза.

Пример

Дана передаточная функция низкочастотного фильтра Бесселя третьего порядка

$H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}$

с амплитудно-частотной характеристикой

$G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}$

и фазо-частотной характеристикой

$\phi (\omega )=-\mathrm {arg} (H(j\omega ))=-\mathrm {arctg} \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right)$

Групповая задержка такого фильтра:

$D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}$

Разложение групповой задержки в ряд Тейлора по степеням частоты:

$D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots$

Из последнего выражения видно, что коэффициенты перед степенями $\omega ^{2}$ и $\omega ^{4}$ равны нулю, а перед более высокими степенями весьма малы, вследствие чего групповая задежка близка к единице на низких частотах.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров с одинаковым количеством коэффициентов:

Фильтра Бесселя нет на графике, но он имеет наименьшую крутизну характеристики (ещё более пологий, чем фильтр Баттерворта), в то же время он не имеет пульсаций АЧХ ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

См. также

• Цифровая обработка изображений
• Решётчатый фильтр
• КИХ-фильтр
• БИХ-фильтр
• Фильтр Баттерворта

Ссылки

• Фильтры нижних частот
• Фильтр Бесселя в обработке аудио
• Фильтр Бесселя в теории управления
• Классификация фильтров