Флаговый комплекс

Флаговый комплекс — симплициальный комплекс, в котором любой набор вершин, попарно соединённых рёбрами, образует симплекс.

Пример флагового комплекса

Примеры

• $n$-угольник является флаговым комплексом тогда и только тогда, когда $n\geqslant 4$.
• Естественное замощение сферы симплексами Коксетера является флаговой триангуляцией.
• Барицентрическое подразделение любого клеточного комплекса является флаговым.
  • В частности, барицентрическое подразбиение симплициального комплекса является флаговым.

Свойства

• Флаговый комплекс полностью определяется своим одномерным остовом, то есть графом из вершин и рёбер комплекса.
  • Более того, по любому графу можно построить флаговый комплекс, объявив, что каждая клика его вершин образует симплекс
• Линк любого симплекса флагового комплекса флаговый.
• Любой флаговый комплекс удовлетворяет следующему условию на треугольники:

  Если три вершины соединены рёбрами, то они образуют треугольник в комплексе.

Более того, если симплициальный комплекс и все его линки удовлетворяют этому условию на треугольники, то он является флаговым.

• (критерий Громова) Предположим, симплициальный комплекс оснащён внутренней метрикой, такой, что каждый симплекс изометричен симплексу в единичной сфере со всеми углами прямыми. Полученное метрическое пространство является CAT(1) тогда и только тогда, когда комплекс является флаговым.

Ссылки

• Bandelt, H.-J.; Chepoi, V. (2008), "Metric graph theory and geometry: a survey", in Goodman, J. E.; Pach, J.; Pollack, R. (eds.), Surveys on Discrete and Computational Geometry: Twenty Years Later (PDF), Contemporary Mathematics, vol. 453, Providence, RI: AMS, pp. 49—86.
• Berge, C. (1989), Hypergraphs: Combinatorics of Finite Sets, North-Holland, ISBN 0-444-87489-5.
• Chatterji, I.; Niblo, G. (2005), "From wall spaces to CAT(0) cube complexes", International Journal of Algebra and Computation, 15 (5—6): 875—885, arXiv:math.GT/0309036, doi:10.1142/S0218196705002669.
• Davis, M. W. (2002), "Nonpositive curvature and reflection groups", in Daverman, R. J.; Sher, R. B. (eds.), Handbook of Geometric Topology, Elsevier, pp. 373—422.
• Dong, X.; Wachs, M. L. (2002), "Combinatorial Laplacian of the matching complex", Electronic Journal of Combinatorics, 9: R17.
• Hartsfeld, N.; Ringel, Gerhard (1991), "Clean triangulations", Combinatorica, 11 (2): 145—155, doi:10.1007/BF01206358.
• Hodkinson, I.; Otto, M. (2003), "Finite conformal hypergraph covers and Gaifman cliques in finite structures", The Bulletin of Symbolic Logic, 9 (3): 387—405, doi:10.2178/bsl/1058448678.
• Larrión, F.; Neumann-Lara, V.; Pizaña, M. A. (2002), "Whitney triangulations, local girth and iterated clique graphs", Discrete Mathematics, 258: 123—135, doi:10.1016/S0012-365X(02)00266-2.
• Malnič, A.; Mohar, B. (1992), "Generating locally cyclic triangulations of surfaces", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 56 (2): 147—164, doi:10.1016/0095-8956(92)90015-.