Формула Карди

Формула Карди — формула для предельной вероятности пробоя в двумерной задаче перколяции. Предсказанная в начале 1990-х годов Джоном Карди на основании рассуждений конформной теории поля, она утверждает, что предельная вероятность пробоя между дугами $[a,b]$ и $[c,d]$ границы односвязной области $\Omega$ в задаче критической перколяции равна

$\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}\eta ^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},\eta \right)=1-{\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}(1-\eta )^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},1-\eta \right),$

где ${}_{2}F_{1}$ — гипергеометрическая функция, а $\eta$ — двойное отношение

$\eta ={\frac {x_{4}-x_{3}}{x_{3}-x_{1}}}:{\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}-x_{1}}}$

четырёх образов $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ точек $a,b,c,d$ при конформном отображении области $\Omega$ в верхнюю полуплоскость.

Формула Карди в переформулировке Карлесона: $\Pi (\Delta ;[a,b],[c,d])=x$.

Эта формула была переформулирована Леннартом Карлесоном в следующем виде: если отображение, конформно переводящее область $\Omega$ в правильный треугольник со стороной 1, а точки $a$, $b$ и $c$ в вершины этого треугольника, переводит точку $d$ в находящуюся на расстоянии $x$ от вершины-образа точки $c$, то искомая вероятность равна $x$.

Для случая треугольной решётки эта формула была строго доказана в начале 2000-х годов Станиславом Смирновым с использованием техники дискретно-гармонических функций.

Формула

Исторические предпосылки

Основная статья: Теория перколяции

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд предложил следующую задачу:

An equal number of white and black balls of equal size are thrown into a

rectangular box, what is the probability that there will be contiguous contact of white balls from one end of the box to the opposite end ? As a special example, suppose there are 30 balls in the length of the box, 10 in the width and 5 (or 10)

layers deep

Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе, исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогаза.

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса и др., в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Айзенман высказывает гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.

Постановка задачи

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область $\Omega$ на плоскости, с четырьмя отмеченными точками $a,b,c,d$ на границе. При каждом $\delta >0$, эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом) $\delta$ — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф $\Omega ^{\delta }$ с отмеченными точками $a^{\delta },b^{\delta },c^{\delta },d^{\delta }$.

Для каждого $\delta >0$, находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность $\Pi _{\delta }$ это вероятность наличия пути от дуги $[a^{\delta },b^{\delta }]$ к дуге $[c^{\delta },d^{\delta }]$, идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей $\Pi _{\delta }$ при $\delta$, стремящемся к нулю:

$\Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _{\delta \to 0}\Pi _{\delta }.$

Ответ Карди

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

• Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями $\Omega$ и $\Omega '$ есть конформное отображение $\varphi$, переводящее точки $a,b,c,d$ на границе $\Omega$ в точки $a',b',c',d'$ на границе $\Omega '$, то

$\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).$

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек $a,b,c,d$ могут быть зафиксированы.

• В верхней полуплоскости $\mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\}$ для точек $0,1-u,1,\infty$ вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию ${}_{2}F_{1}$ как

$\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},u\right).$

Это представление может быть переписано как интеграл

$\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}(v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.$

Переформулировка Карлесона

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил, что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков $[a,b],[c,d]$, который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.

Доказательство для случая треугольной решётки

Формула Карди для случая треугольной решётки была доказана Смирновым с использованием техники дискретного комплексного анализа. Одним из шагов его доказательства явилось продолжение вероятности пробоя до функции на внутренности области. А именно, для дискретизованной области $\Omega _{\delta }$ с тремя отмеченными точками $A_{\delta },B_{\delta },C_{\delta }$ на границе, рассматривается функция $h_{C,\delta }(z)$ на этой области, задающая вероятность наличия открытого пути от дуги $A_{\delta }C_{\delta }$ до дуги $B_{\delta }C_{\delta }$ границы, отделяющего от дуги $A_{\delta }B_{\delta }$ точку $z$. Вероятность пробоя $\Pi _{\delta }(\Omega _{\delta };[A_{\delta }B_{\delta }],[C_{\delta }D_{\delta }])$ задаётся значением этой функции в граничной точке $D_{\delta }$.

Оказывается, что как для суммы трёх таких функций,

$h_{\delta }=h_{A,\delta }(z)+h_{B,\delta }(z)+h_{C,\delta }(z),$

так и для их линейной комбинации

$s_{\delta }=h_{A,\delta }(z)+\tau h_{B,\delta }(z)+\tau h_{C,\delta }(z),\quad \tau =e^{2\pi i/3},$

дискретно-антиголоморфный дифференциал ${\bar {\partial }}$ оказывается малым (и стремящимся к нулю с уменьшением шага $\delta$). Отсюда следует голоморфность предельных функций $h=\lim _{\delta \to 0}h_{\delta }$ и $s=\lim _{\delta \to 0}s_{\delta }$. Наконец, функция $h$ голоморфна и принимает только вещественные значения; тем самым, она оказывается постоянной и, в силу граничных значений, тождественно равной единице.

Анализ функции s показывает, что она конформно отображает область $\Omega$ в правильный треугольник, переводя точки A, B и C в точки $0,1,e^{\pi i/3}$; формула Карди после этого восстанавливается, исходя из исследования поведения функций на границе.

Ссылки

• Austin D. Percolation: Slipping through the Cracks (англ.). American Mathematical Society Feature Column. Дата обращения: 8 сентября 2011. Архивировано 15 мая 2012 года.

Литература

• Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. — Библиотечка «Квант». — Москва: Наука, 1982. — 265 с с.
• Cardy J. Critical percolation in finite geometries // J. Phys. A. — 1992. — Т. 25. — С. L201-L206.
• Smirnov S. Critical percolation in the plane. I. Conformal invariance and Cardy’s formula. II. Continuum scaling limit.  (неопр.)
• Smirnov S. Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits // C. R. Acad. Sci. Paris, ser. I. — 2001. — Vol. 333. — P. 239—244.
• Smirnov S. Critical percolation and conformal invariance (англ.) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lisbon, Portugal, July 28 — August 2, 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). — Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. — P. 99—112. — ISBN 978-9812562012.
• Beffara V. Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way  (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2011. Архивировано из оригинала 31 августа 2012 года.
• Kesten H. Some Highlights on Percolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Beijing 2002, August 20-28. — Т. 1. — С. 345--362. — ISBN 978-7040086904.