Формула Римана — фон Мангольдта

Формула Римана — фон Мангольдта — выражение, описывающее распределение нулей дзета-функции Римана; число нулей дзета-функции с мнимой частью большей 0 и не превосходящей заданное число $T$ удовлетворяет следующему соотношению:

$N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T})$.

Впервые дана Риманом в работе «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (1859), окончательно доказана Мангольдтом в 1905 году.

В 1918 году финский математик Йозеф Беклунд (Ralf Josef Bäcklund; 1888—1949) вывел явную оценку ошибки для всех $T>2$:

$\left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0{,}137\log T+0{,}443\log \log T+4{,}350$.

Литература

• Edwards H. M.. Riemann’s zeta function. — New York — London: Academic Press, 1974. — Т. 58. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 0-12-232750-0.
• Ivić Aleksandar. The theory of Hardy's Z-function. — Cambridge: Cambridge University Press, 2013. — Т. 196. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-1-107-02883-8.
• Patterson S. J. An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. — Cambridge: Cambridge University Press, 1988. — Т. 14. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-33535-3.
• Weisstein Eric W. Riemann-von Mangoldt Formula (англ.). MathWorld.