Формула Торричелли (кинематика)

Не следует путать с Формула Торричелли (гидродинамика).

Формула Торричелли в кинематике устанавливает связь между конечной скоростью тела $v_{f}$, движущегося прямолинейно с постоянным ускорением, и его начальной скоростью $v_{i}$, величиной ускорения $a$ и пройденным путём $\Delta s$:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta s$

Формула удобна тем, что не требует явного вычисления времени движения.

Получена Эванджелиста Торричелли.

Вывод

Имеем формулу для зависимости скорости от времени:

$v_{f}=v_{i}+at$

Возводя в квадрат обе части уравнения, получим:

$v_{f}^{2}=(v_{i}+at)^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+a^{2}t^{2}$

Величина $t^{2}$ фигурирует в формуле, связывающей пройденный телом путь, время, ускорение и начальную скорость. Эта величина может быть выражена через остальные:

$s=s_{i}+v_{i}t+a{\frac {t^{2}}{2}}$

$s-s_{i}-v_{i}t=a{\frac {t^{2}}{2}}$

$t^{2}=2{\frac {s-s_{i}-v_{i}t}{a}}=2{\frac {\Delta s-v_{i}t}{a}}$

Подставляя это выражение в нашу начальную формулу, получим:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+a^{2}\left(2{\frac {\Delta s-v_{i}t}{a}}\right)$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+2a(\Delta s-v_{i}t)$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+2a\Delta s-2av_{i}t$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta s$