Фуксова модель

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Более точное определение править

По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, параболической^[англ.], либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность $R$ , которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости $\mathbb {H}$ по подгруппе $\Gamma$ , действующей вполне разрывно и свободно.

В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа биголоморфных преобразований^[англ.] является группой $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ , действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ , такая, что риманова поверхность $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ изоморфна $R$ . Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ называется фуксовой моделью для $R$ .

Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера править

Пусть $R$ будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть $\Gamma$ будет фуксовой группой, такой, что $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ является фуксовой моделью для $R$ . Пусть

A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\}

.

Здесь $A(\Gamma )$ — множество всех $\rho$ эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»)^[1]. В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа $\Gamma$ является конечнопорождённой^[англ.]^*, так как она изоморфна фундаментальной группе $R$ . Пусть $g_{1},\ldots ,g_{r}$ будет порождающим множеством, тогда любое $\rho \in A(\Gamma )$ определяется элементами $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ и мы можем отождествить $A(G)$ с подмножеством $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}$ отображением $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$ . Тем самым мы задаём топологию подпространства.

Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующее^[2]:

Для любого представления $\rho \in A(G)$ существует автогомеоморфизм (фактически, квазиконформное отображение^[англ.]) $h$ верхней полуплоскости $\mathbb {H}$ , такое, что $h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )$ для любого $\gamma \in G$ .

Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм $R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H}$ и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку $R$ компактно.

Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера $R$ ^[1] — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы $\pi _{1}(R)$ ^[3] в классы смежности $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ и множества помеченных римановых поверхностей $(X,f)$ , где $f\colon R\to X$ является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.

См. также править

Модель Кляйна^[англ.], аналогичное построение для 3D-многообразий
Фундаментальный многоугольник^[англ.]

Примечания править

↑ ¹ ² Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12.
↑ Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12, Theorem 0.17.
↑ Множество гомотопических классов петель с произведением петель из точки $x_{0}$ пространства $X$ называется фундаментальной группой с отмеченной точкой $x_{0}$ и обозначается $\pi _{1}(X,x_{0})$ . Если $X$ — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки и для таких пространств можно писать $\pi _{1}(X)$ вместо $\pi _{1}(X,x_{0})$ . См. Фундаментальная группа

Литература править

Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. — Oxford university press, 1998. — ISBN 0-19-850062-9.

[_d7e36ce67d2dbf14-1] ¹ ² Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12.

[_805190cd499ea9e6-2] Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12, Theorem 0.17.

[3] Множество гомотопических классов петель с произведением петель из точки $x_{0}$ пространства $X$ называется фундаментальной группой с отмеченной точкой $x_{0}$ и обозначается $\pi _{1}(X,x_{0})$ . Если $X$ — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки и для таких пространств можно писать $\pi _{1}(X)$ вместо $\pi _{1}(X,x_{0})$ . См. Фундаментальная группа

[1]

[2]

[3]