Функция Морса

Функция Морса ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки.

Линии уровня у морсовской функции на торе с четырьмя критическими точками

Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии.

Определение

Пусть $W$ ― гладкое многообразие, край которого $\partial W$ является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий $F_{0}$ и $F_{1}$. Функция Морса триады $(W;F_{0},F_{1})$ ― такая гладкая класса $C^{2}$ функция $f:W\to [a,b]$, $-\infty <a,b<+\infty$ (или $f:W\to [a,\infty ]$) при $F_{1}=\varnothing$, что:

1. $F_{0}=f^{-1}(a),F_{1}=f^{-1}(b),$
2. все критические точки функции $f$ лежат в $W\backslash \partial W=f^{-1}(a,b)$ и невырождены.

Свойства

• Если многообразие $W$ конечномерно, то для $k\geqslant 2$ множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности.
• В пространстве всех $C^{k}$-гладких ($k\geqslant 2$) функций

  $f:(W,F_{0},F_{1})\to ([a,b],a,b)$

множество функций Морса является плотным открытым множеством.

Вариации и обобщения

Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия. При этом требуется дополнительное условие:

• (условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве $K\subset W$, где функция $f$ ограничена, а нижняя грань функции $|df(x)|$ равна нулю, существует критическая точка функции $f$.

Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.

В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра

См. также

• Граф Риба