Характеристическая подгруппа

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Связанные определения

• Если образ подгруппы при действии любого эндоморфизма лежит внутри подгруппы, то подгруппа называется вполне характеристической. Ясно, что любая вполне характеристическая группа является характеристической.
• Любая группа имеет 2 характеристических подгруппы, называемых тривиальными: саму группу и единичную подгруппу. Группа, не имеющая нетривиальных характеристических подгрупп, называется элементарной.

Примеры

• Центр группы
• Коммутант группы
• Норма группы

Свойства

• Всякая характеристическая подгруппа является нормальной (так как сопряжение является автоморфизмом), обратное, вообще говоря, неверно. Если группа автоморфизмов группы $\operatorname {Aut} G$ совпадает с группой внутренних автоморфизмов $\operatorname {Int} G,$ то любая нормальная подгруппа группы является характеристической.
• Свойство «быть характеристической подгруппой» транзитивно, то есть если A характеристична (вполне характеристична) в B, а B характеристична (вполне характеристична) в C, то A характеристична (вполне характеристична) в C.
• Пересечение характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.
• Подгруппа, порожденная множеством характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.

Литература

• Курош А. Г. Теория групп — М.: Наука, 1967.