Число Брюно

Число Брюно — иррациональное число $\alpha$, для которого конечна функция Брюно $B(\alpha )$ — бесконечная сумма:

$B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}$

($q_{n}$ — знаменатель $n$-го члена ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ непрерывная дроби разложения $\alpha$).

Функция Брюно $B(x)$ определена для иррационального $x$ и удовлетворяет следующим условиям:

$B(x)=B(x+1)$

$B(x)=-\log x+xB(1/x)$ для всех иррациональных $x$ от 0 до 1.

Числа открыты и изучены советским математиком Александром Брюно в работе 1971 году, в которой улучшено диофантово условие в теореме Зигеля: ростки голоморфных функций с линейной частью $e^{2\pi i\alpha }$ линеаризуемы, если $\alpha$ — число Брюно. В 1987 году Жан-Кристоф Йоккоз показал, что это условие является необходимым, причём для квадратичных многочленов оно не только необходимо, но и достаточно.

У чисел Брюно существует не так много больших «скачков» в последовательностях в которых знаменатель $(n+1)$-го сходящегося числа экспоненциально больше, чем знаменатель $n$-го сходящегося числа. В отличие от чисел Лиувилля они не могут быть необычно^{[уточнить]} точными диофантовыми приближениями рациональных чисел.

Ссылки

• Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды Московского математического общества, 25, 26 (1971, 1972), 119–262, 199–239.